[洛谷P4887]第十四分块(前体)
题目大意:
给定一个长度为\(n\)的序列\(a\),\(k\),和\(m\)次询问。
每次询问给定区间\([l,r]\),求满足\(l\leqslant i< j\leqslant r\)且\(\_\_ \text{builtin}\_ \text{popcount} (a_i\oplus a_j)=k\)的数对\((i,j)\)的个数。
40MB。
解题思路:
二次离线莫队lxl黑科技。
对于一次询问\([l,r]\),我们考虑右端点往右移动一格后变成\([l,r+1]\),多出来的数其实是\(a_{r+1}\)在\([l,r]\)内的贡献。
而这个贡献相当于\(a_{r+1}\)在\([1,r]\)内的贡献减去\(a_{r+1}\)在\([1,l-1]\)内的贡献。
而\(a_{i+1}\)在区间\([1,i]\)内的贡献可以前缀和预处理出来,这部分贡献可以\(O(1)\)计算。
而当右指针移动的时候,左指针不会动,所以\([1,l-1]\)这个区间是不会变的。
设指针\(r\)往右移动到\(r'\),则把\([r+1,r']\)塞进\(v_{l-1}\)里去,表示\([1,l-1]\)这段区间对\([r+1,r']\)有贡献。往左移动同理,记录一下贡献的正负即可。
左指针移动的话,则反着再记录一个即可。注意右指针移动的时候,左指针没有动过,而左指针移动的时候,右指针已经移动完了。
而莫队保证每个指针移动的总距离是\(O(n\sqrt n)\)的,也就是说一个vector里存的区间总长是\(O(n\sqrt n)\)的,那么拿出来暴力计算即可。
要用一个桶记录当前状态,可以做到\(O(\binom{14}{k})\)插入(插入一个数,把这个数异或所有合法数的桶都+1),\(O(1)\)查询。
注意最后得到的结果是与上一次的贡献差,最后要做一个前缀和。
时间复杂度\(O(n\binom{14}{k}+n\sqrt n)\),常数巨大。空间复杂度\(O(n+m)\)。
C++ Code:
#include<cstdio> #include<cctype> #include<vector> #include<algorithm> #include<cstring> #define lim 16384 #define N 100005 #define reg register class istream{ char buf[15000003],*s; public: inline istream(){ buf[fread(s=buf,1,15000001,stdin)]='\n'; } template<typename T> inline istream&operator>>(T&rhs){ for(rhs=0;!isdigit(*s);++s); while(isdigit(*s))rhs=rhs*10+(*s++&15); return*this; } }cin; struct ostream{ char buf[8000005],*s; inline ostream(){s=buf;} inline void operator<<(long long d){ if(!d){ *s++='0'; }else{ static long long w; for(w=1;w<=d;w*=10); for(;w/=10;d%=w)*s++=d/w^'0'; } *s++='\n'; } inline ostream&operator<<(const char&c){*s++=c;return*this;} inline~ostream(){fwrite(buf,1,s-buf,stdout);} }cout; int n,m,k,buc[lim+1],a[N],K[4000],KS; long long ans[N],out[N],L_R[N],R_L[N]; struct que{ int l,r,id; inline bool operator<(const que&rhs)const{ return((l/333!=rhs.l/333)?(l<rhs.l):(r<rhs.r)); } }q[N]; struct node{ int l,r,id,op; }; std::vector<node>L[N],R[N]; int main(){ cin>>n>>m>>k; if(k>14){for(int i=1;i<=m;++i)puts("0");return 0;} for(int i=0;i<lim;++i) if(__builtin_popcount(i)==k)K[KS++]=i; for(int i=1;i<=n;++i){ cin>>a[i]; L_R[i]=buc[a[i]]+L_R[i-1]; reg int j=0; for(;j+8<KS;j+=8) ++buc[a[i]^K[j]],++buc[a[i]^K[j+1]],++buc[a[i]^K[j+2]],++buc[a[i]^K[j+3]], ++buc[a[i]^K[j+4]],++buc[a[i]^K[j+5]],++buc[a[i]^K[j+6]],++buc[a[i]^K[j+7]]; for(;j<KS;++j)++buc[a[i]^K[j]]; } memset(buc,0,sizeof buc); for(int i=n;i;--i){ R_L[i]=buc[a[i]]+R_L[i+1]; reg int j=0; for(;j+8<KS;j+=8) ++buc[a[i]^K[j]],++buc[a[i]^K[j+1]],++buc[a[i]^K[j+2]],++buc[a[i]^K[j+3]], ++buc[a[i]^K[j+4]],++buc[a[i]^K[j+5]],++buc[a[i]^K[j+6]],++buc[a[i]^K[j+7]]; for(;j<KS;++j)++buc[a[i]^K[j]]; } for(int i=1;i<=m;++i)cin>>q[i].l>>q[q[i].id=i].r; std::sort(q+1,q+m+1); q[0].l=1,q[0].r=0; for(int i=1;i<=m;++i){ const que&now=q[i],pre=q[i-1]; ans[i]+=L_R[now.r]-L_R[pre.r]+R_L[now.l]-R_L[pre.l]; if(now.r>pre.r) R[pre.l-1].push_back((node){pre.r+1,now.r,i,-1});else if(now.r<pre.r) R[pre.l-1].push_back((node){now.r+1,pre.r,i,1}); if(now.l<pre.l) L[now.r+1].push_back((node){now.l,pre.l-1,i,-1});else if(now.l>pre.l) L[now.r+1].push_back((node){pre.l,now.l-1,i,1}); } memset(buc,0,sizeof buc); for(int i=1;i<=n;++i){ reg int j=0; for(;j+8<KS;j+=8) ++buc[a[i]^K[j]],++buc[a[i]^K[j+1]],++buc[a[i]^K[j+2]],++buc[a[i]^K[j+3]], ++buc[a[i]^K[j+4]],++buc[a[i]^K[j+5]],++buc[a[i]^K[j+6]],++buc[a[i]^K[j+7]]; for(;j<KS;++j)++buc[a[i]^K[j]]; for(node j:R[i]){ const int l=j.l,r=j.r; reg long long t=0,k=l; for(;k+8<=r;k+=8) t+=buc[a[k]],t+=buc[a[k+1]],t+=buc[a[k+2]],t+=buc[a[k+3]], t+=buc[a[k+4]],t+=buc[a[k+5]],t+=buc[a[k+6]],t+=buc[a[k+7]]; for(;k<=r;++k)t+=buc[a[k]]; ans[j.id]+=t*j.op; } } memset(buc,0,sizeof buc); for(int i=n;i;--i){ reg int j=0; for(;j+8<KS;j+=8) ++buc[a[i]^K[j]],++buc[a[i]^K[j+1]],++buc[a[i]^K[j+2]],++buc[a[i]^K[j+3]], ++buc[a[i]^K[j+4]],++buc[a[i]^K[j+5]],++buc[a[i]^K[j+6]],++buc[a[i]^K[j+7]]; for(;j<KS;++j)++buc[a[i]^K[j]]; for(node j:L[i]){ const int l=j.l,r=j.r; reg long long t=0,k=l; for(;k+8<=r;k+=8) t+=buc[a[k]],t+=buc[a[k+1]],t+=buc[a[k+2]],t+=buc[a[k+3]], t+=buc[a[k+4]],t+=buc[a[k+5]],t+=buc[a[k+6]],t+=buc[a[k+7]]; for(;k<=r;++k)t+=buc[a[k]]; ans[j.id]+=t*j.op; } } for(int i=1;i<=m;++i)ans[i]+=ans[i-1],out[q[i].id]=ans[i]; for(int i=1;i<=m;++i)cout<<out[i]; return 0; }