前缀和与差分

前缀和与差分比较常用，也算是必须掌握的方法。主要用于对区间数据的查询处理。

在一维当中，前缀和就是指从某个元素开始一直到首个元素的和，差分是指每个元素与前一元素的差（首个元素即为本身）。

在二维里面，设一个N*M的矩阵，起点（左上角）为(1,1)，终点右下角为(N,M)。则(i,j)的前缀和为以(1,1)为起点，以(i,j)为终点的矩形内所有元素的和；(i,j)的差分则是(i,j)-(i,j-1)-(i-1,j)+(i-1,j-1)。

比较有意思的是前缀和的差分和差分的前缀和即为各个元素。

前缀和主要用于区间求和，初始化复杂度为O(n)，每次查询仅为O(1)。差分主要用于区间增加和单点查询，区间增加复杂度仅为O(1)，单点查询相当于求差分数组的前缀和，复杂度为O(n)。区间增加，对于一维来说，要给[i,j]这个区间的每个元素加x，只需要令pre[i]+=x，pre[j+1]-=x即可（pre就是差分数组）。对于二维来说，要将(i,j,k,l)这个矩形内的每个元素都加x，则令pre[i,j]+=x，pre[i,l+1]-=x，pre[k+1,j]-=x，pre[k+1,l+1]+=x。

前缀和与差分一般并不单独考察，而是作为一种数据处理方式与其他知识点一起考察。

比如NOIP2012 借教室：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1083