杜教筛(极简版)

迪利克雷卷积

定义*为两个函数的迪利克雷卷积操作。

则
\(h=f*g <=> h(n)=\sum_{d|n} f(d)g(n/d)\)
迪利克雷卷积满足交换律，结合律，分配律

积性函数

若\(gcd(n,m)==1,f(x)\)为积性函数，则\(f(n*m)=f(n)f(m);\)
积性函数的乘积仍为积性函数

任何积性函数都可以线性求出。求时需记录有关最小质因子的一些信息，如\(d(i)\)表示\(i\)的约数个数,就需要一个数组来记录最小质因子的幂次。这个要具体问题具体对待

杜教筛

用非线性的时间来求一个积性函数的前缀和，网传当线性取得前缀和为\(n^{\frac{2}{3}}时\)，再配合整除分块，杜教筛的复杂度可以达到\(O(n^{\frac{2}{3}})\)

假设要求积性函数\(f(n)\)的前缀和，即\(\sum_{i=1}^nf(i)\),我们需要找到另一个积性函数\(g(n)\)，使得\(h=f*g\)，则
\(h(n)=\sum_{d|n} f(\frac{n}{d})g(d)\)
同时求和得
\(\sum_{i=1}^nh(i)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}f(\frac{i}{d})g(d)=\sum_{d=1}^ng(d)*\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}f(i)\)
令\(S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\)，则
\(\sum_{i=1}^nh(i)=g(1)S(n)+\sum_{d=2}^{n}g(d)*S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor)\),移项即得
\(g(1)S(n)=\sum_{1}^nh(i)-\sum_{d=2}^{n}g(d)*S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor)\)

这个算法要求最后\(h(i),g(d)\)的前缀和是好求的，这样就可以用整除分块较快速的求出\(S(n)\)。若要应用杜教筛，这就要求我们记住一些常见的迪利克雷卷积。

例：

1:\(\mu*I=\varepsilon\)

2:\(\phi*I=id\)

3:\(\mu*id=\phi\)

代码实现,题目链接P4213 【模板】杜教筛（Sum）

ll T;
ll n;
int p[maxn],cnt,mu[maxn];
ll phi[maxn];
bool vis[maxn];
struct node{ll s1,s2;};
map<int,node>mp;

void pre(){
	mu[1]=phi[1]=1;
	rep(i,2,N){
		if(!vis[i]){
			p[++cnt]=i;
			mu[i]=-1;phi[i]=i-1;
		}
		rep(j,1,cnt){
			if(1LL*p[j]*i>N) break;
			vis[1LL*p[j]*i]=1;
			if(i%p[j]){
				mu[i*p[j]]=-mu[i];
				phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];
			}
			else{	
				phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
				break;
			}
		}
	}
	rep(i,1,N) mu[i]+=mu[i-1],phi[i]+=phi[i-1];
}

node solve(ll x){
	node tmp;
	if(x<=N){tmp.s1=phi[x];tmp.s2=mu[x];return tmp;}
	if(mp.find(x)!=mp.end()){return mp[x];}
	tmp.s1=1LL*x*(x+1)/2;tmp.s2=1;
	node tep;
	for(ll l=2,r;l<=x;l=r+1){
		r=x/(x/l);
		tep=solve(x/l);
		tmp.s1-=1LL*(r-l+1)*tep.s1;
		tmp.s2-=1LL*(r-l+1)*tep.s2;
	}
	return mp[x]=tmp;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in1.txt","r",stdin);
   // freopen("2.out","w",stdout);
#endif  
	pre();
	T=read();node ans;
	while(T--){
		n=read();
		ans=solve(n);
		print(ans.s1);ptc;
		print(ans.s2);pts;
	}
    return 0;
}

这里\(map\)的使用可以很大程度的减少时间复杂度，如果手写\(hash\)表的话，速度将更快