Ice Cream Balls

先考虑如果每个冰淇淋球不相同时的情况数。设有 $m$ 种不同的冰淇淋球，显然有：方案数 $n=\frac{m\left(m-1\right)}{2}$。

现在已知 $n$，直接求解这个关于 $m$ 的方程的正数解，即 $m=\frac{\sqrt{8n+1}+1}{2}$。

但是在大部分情况下，这个式子并不能得到一个正整数解。也就是说，冰激凌球会有重复的。想一想如何知道要有几个重复的呢？

看一下这个例子：$\left\{1,1,2,3,4\right\}$。他能做出几种不同的冰淇淋？
这里有 $2$ 个 $1$，不管选用哪个都是一样的。我们先将它们看为 $1$ 个，这样就变成了 $4$ 个互不相同的冰淇淋球，有 $\frac{4\times \left(4-1\right)}{2}=6$ 种。但是初始时的 $2$ 个 $1$ 也可以做成一种冰淇淋，因此总的方案数还要 $+1$，即 $7$ 种。

从上述过程能看出来，有几组重复的冰淇淋球，方案数 $n$ 就会多几。

我们在上面讨论的只有 $2$ 个相同的冰淇淋球，那么可能会出现 $3$ 个或更多相同的冰淇淋球吗？
如果有 $3$ 个相同的冰淇凌球，答案的贡献仍然只会 $+1$，但是却浪费了一个冰淇凌球！这与题目要求的最小化 $m$ 不符合，因此不会出现 $3$ 个或更多的重复冰淇凌球。

由此我们就可以尝试推导通式了。先根据 $n$ 求方程 $n=\frac{m\left(m-1\right)}{2}$ 的正数解，即 $m=\frac{\sqrt{8n+1}+1}{2}$。设 $k=\lfloor m\rfloor$。当 $k$ 个冰淇凌球互不相同时，总共的方案数为 $\frac{k\left(k-1\right)}{2}$，但是这可能不足 $n$，我们需要相同的冰淇凌球来补全剩下的。每多一组相同的冰淇凌球方案数会 $+1$，我们只需要再变出 $n-\frac{k\left(k-1\right)}{2}$ 个与前面有重复的冰淇淋球即可让最终的方案数等于 $n$。这些冰淇凌球贡献出了 $n-\frac{k\left(k-1\right)}{2}$ 种方案，早已构造出的方案数为 $k$，则最终答案为 $k+\left[n-\frac{k\left(k-1\right)}{2}\right]$。

稍微有些混乱，设输入为 $n$，这是最后的结论：

$$\begin{array}{c}k=\lfloor \frac{\sqrt{8n+1}+1}{2}\rfloor ,\\ ans=k+\left[n-\frac{k\left(k-1\right)}{2}\right]\end{array}$$

结论题应该就不用给代码了吧……

最后注意精度，建议 long double，就可以愉快通过了。