Rudolf and Imbalance

会 G 不会 F 是不是没救了

Rudolf sorts the complexities of the problems in ascending order and finds the largest value of $a_i-a_{i-1}(i>1)$.

What is the minimum value of imbalance that Rudolf can achieve by adding at most one problem, created according to the described rules?

最大值最小化，是经典二分答案问题。直接二分所要求的最大值即可。

我们可以初始排序好 $a$。每次 check 时，枚举相邻两个元素间的差。记当前要 check 的值为 $x$。若 $a_i-a_{i-1}>x$，说明我们需要插入一个元素。

我们只能插入一个问题，即只能将一个段变小。因此遇到过长段时打上一个 flag，下次遇到过长段且有 flag 可以直接返回 false。

而判断某个段内是否可以通过插入一道题的方式让区间变小，这就是“求是否可以在两个序列中各取出一个数使其和在某范围”的经典问题。枚举 $d$ 中元素，求出若把段分成两个合法段需要的 $f$ 中元素最小/最大是多少，再按照这个范围在 $f$ 中二分就好了。

设二分的值域为 $w$。每次 check 需要遍历 $a$ 一次，最多会遍历 $d$ 一次。遍历 $d$ 时还需要在 $f$ 内二分查找，因此 check 函数的时间复杂度为 $O\left(n+m\log k\right)$，总时间复杂度为 $O\left(\left(n+m\log k\right)\log w\right)$。

#include<bits/extc++.h>
using namespace std;
namespace pbds=__gnu_pbds;
using ui=unsigned int;
using uli=unsigned long long int;
using li=long long int;
int main(void){
    ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
    size_t T;
    cin>>T;
    while (T--){
        size_t n,m,k;cin>>n>>m>>k;
        vector<ui> a(n),d(m),f(k);
        for (ui& i:a) cin>>i;
        for (ui& i:d) cin>>i;
        for (ui& i:f) cin>>i;
        sort(a.begin(),a.end()),sort(d.begin(),d.end()),sort(f.begin(),f.end());
        ui l=0,r=2e9+1;
        auto check=[&](ui mid){
            bool flag=false;
            for (size_t i=1;i<n;++i) if (a[i]-a[i-1]>mid){
                if (flag) return false;
                flag=true;
                for (ui j:d){
                    vector<ui>::const_iterator it=a[i]-mid>=j?lower_bound(f.cbegin(),f.cend(),a[i]-mid-j):f.cbegin(),
                                               jt=a[i-1]+mid>=j?upper_bound(f.cbegin(),f.cend(),a[i-1]+mid-j):f.cbegin();
                    if (it<jt) goto getit;
                }
                return false;
                getit:;
            }
            return true;
        };
        while (l<r){
            ui mid=(l+r)/2;
            check(mid)?r=mid:l=mid+1;
        }
        cout<<l<<'\n';
    }
    return 0;
}