盒球问题

n 个球 和 m 个盒子相关问题的个人理解。

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1.球不同盒不同，可空。

n 个都能放到 m 个里：\(m^n\)

2.球同盒同，可空。

分类讨论。类似于 dp，设 \(f[i][j]\) 表示 i 个球放到 j 个盒里方案数。

\(n < m：f(n, m) = f(n, n)\)

\(n >= m：\)
有空的：\(f(n, m) = f(n, m - 1)\)，m - 1 就是让盒子有空。因为递推中每次都会考虑，所以每种空的情况都会统计。

没有空的：\(f(n, m) = f(n - m, m)\)，就是让 m 个盒子都先放上一个球，这样就能保证不空。

\(f(n, m) = f(n, m - 1) + f(n - m, m)\)

3.球同盒同，不空。

\(n < m\) 无解。

否则：\(f'(n, m) = f(n - m, m)\)。 其中 \(f\) 含义同 2 中含义（可空），\(f'\) 在这里指本题式子（不可空）。表示：每个盒子先填一个球，对于剩下的球可以有空，直接根据 2 的解法塞到盒子里就行。

紧扣 dp 定义的含义，子问题和原问题性质是否一样？不要弄混。

4.球同盒不同，不空。

插板法：\(C_{n - 1}^{m - 1}\)

怎么保证答案正确？

要求不空：则板只能在 n - 1 个空中。

分成 m 份：在空中塞 m - 1 个板。易证。

5.球同盒不同，可空。

发现和上面问题的区别在于多了可以为空的条件。

那么先放 m 个球，保证每个空都有球。然后根据上面的结论，处理 n + m 个球放到 m 个盒子里，不能有空。

\(C_{n + m - 1} ^ {m - 1}\)

6.球不同盒同，不空。

递推。第一个：开一个盒子；第二个：开一个盒子 or 和 1 放在一起；第三个：开一个盒子 or 和 2 放在一起 or 和 1、2放在一起。

....

所以它和别人共用一盒：\(f(n, m) = f(n - 1, m) * m\)，乘上 m 是因为，虽然盒同但是球不同。在前面有 m 种盒。

它自己开了一新盒：\(f(n, m) = f(n - 1, m - 1)\)

综上：\(f(n,m) = f(n - 1, m) * m + f(n - 1, m - 1)\)

补充：递推式正是第二类斯特林数。

7.球不同盒同，可空。

考虑以盒子为整体，看盒子：空 1 个，空 2 个，空 ... m - 1 个。

然后枚举非空盒子（直接把空盒子摘出去了），把球放过去。

另 \(f'(n, m)\) 表示球不同盒同，可空时的方案数。下面式子中的 \(f(n, m)\) 含义同 6 中含义。

根据 6 易得：\(f'(n, m) = \sum_{i = 1}^m f(n, i)\)。表示枚举非空盒子个数，然后按照 6 处理。

8.球不同盒不同，可空。

和 7 的区别在于盒不同。

那就将 7 的答案乘上盒子的全排列，相当于全排一遍，其他均相同。

另 f''表示球不同盒不同可空的方案数，f''的含义于 7 中相同。

\(f''(n, m) = f'(n, m) \times m!\)

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并不能想出来其他上面方案....几乎是想出来一个很快就被自己否掉了。我觉得以上应该算这种问题的通解，感觉无论是思路上还是复杂度上大概率都不会有更优的了（）。