BZOJ4305 数列的GCD
\(\mathcal{Description}\)
\(\mathcal{Solution}\)
这里就不用\(N,M\)，还是\(n,m\)写的习惯些
直接计算一个方案是十分不方便的
所以考虑容斥
设\(g\left(d\right)\)表示\(d\ |\ gcd\)的方案数
设\(a\)中有\(cnt\)个数是\(d\)的倍数
那么有
\(g\left( d\right) =\left( \dfrac {m}{d}\right) ^{n-cnt}\begin{pmatrix} cnt \\ n-k \end{pmatrix}\left( \dfrac {m}{d}-1\right) ^{k-\left(n-cnt\right)}\)
\(\left( \dfrac {m}{d}\right) ^{n-cnt}\)表示有\(n-cnt\)个数是必须修改的，每个有\(\frac{m}{d}\)种数选择
那么还剩\(k-\left(n-cnt\right)\)个数必须要修改，我们可将其写为\(cnt-(n-k)\)，这样就是等价于要选\(n-k\)个数出来
\(\begin{pmatrix} cnt \\ n-k \end{pmatrix}\left( \dfrac {m}{d}-1\right) ^{k-\left(n-cnt\right)}\)表示将这\(cnt\)个数修改\(k-(n-cnt)\)个数，每个数因为自己本身是\(d\)的一个倍数，所以只有\(\frac{m}{d}\)种选择
设\(f\left(d\right)\)表示\(gcd=d\)的方案数
然后可以考虑莫比乌斯反演
显然有
\(\begin{aligned}g\left( n\right) =\sum _{n\ |\ d}f\left( d\right)\end{aligned}\)
则根据莫比乌斯反演，有
\(\begin{aligned}f\left( n\right) =\sum _{n\ |\ d}\mu \left( \dfrac {d}{n}\right) g\left( d\right)\end{aligned}\)
当然，莫比乌斯反演什么的是不可能莫比乌斯反演的
直接容斥就可以啦
\(\begin{aligned}f\left(n\right)=g\left(n\right)-\sum_{n|d}f(d)\end{aligned}\)
从大到小枚举\(d\)，直接计算即可
\(\mathcal{Code}\)
/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年08月23日 星期五 08时14分25秒
*******************************/
#include <cstdio>
#include <fstream>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 300005;
const int mod = 1000000007;
//{{{cin
struct IO{
template<typename T>
IO & operator>>(T&res){
res=0;
bool flag=false;
char ch;
while((ch=getchar())>'9'||ch<'0') flag|=ch=='-';
while(ch>='0'&&ch<='9') res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
if (flag) res=~res+1;
return *this;
}
}cin;
//}}}
int n,m,k;
int a[maxn],num[maxn];
ll fac[maxn],inv[maxn],f[maxn];
//{{{ksm
int ksm (int a,int b)
{
a%=mod;
int s=1;
for (;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod)
if (b&1) s=1ll*s*a%mod;
return s;
}
//}}}
inline ll C (int n,int m)
{
return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main()
{
cin>>n>>m>>k;
fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
for (int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i],++num[a[i]];
for (int i=2;i<=n;++i) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
for (int i=2;i<=n;++i) inv[i]=(-mod/i*inv[mod%i]%mod+mod)%mod;
for (int i=2;i<=n;++i) inv[i]=1ll*inv[i]*inv[i-1]%mod;
for (int i=m;i>=1;--i){
int cnt=0;
for (int j=i;j<=m;j+=i) cnt+=num[j];
if (cnt-n+k<0) f[i]=0;
else f[i]=C(cnt,n-k)*ksm(m/i-1,cnt-n+k)%mod*ksm(m/i,n-cnt)%mod;
for (int j=i<<1;j<=m;j+=i) f[i]=1ll*(f[i]-f[j]+mod)%mod;
}
for (int i=1;i<=m;++i) printf("%lld ",f[i]);
return 0;
}
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