多项式
前置知识
定义
简单来说，形如\(a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\)，的代数表达式叫做多项式
可以记作\(f(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+ \cdots+a_nx^n\)
其中\(a_0,a_1,\cdots,a_n\)叫做多项式的系数，\(x\)是一个不定元，不表示任何值
不定元在多项式中最大项的次数称作多项式的次数
多项式的表示法
系数表示法
像刚刚我们提到的那些多项式，都是以系数形式表示的，也就是将\(n\)次多项式\(f(x)\)的系数\(a_0,a_1,\cdots,a_n\)看作\(n+1\)维向量\(\overrightarrow{a}=(a_0,a_1,\cdots,a_n)\)，其系数表示就是向量\(\overrightarrow{a}\)
点值表示法
如果\(n+1\)个不同的数\(x_0,x_1,\cdots,x_n\)对多项式进行求值，得到\(f(x_0),f(x_1),\cdots,f(x_n)\)，那么就称\(\left\{ \left( x_{i},f\left( x_{i}\right) \right)|0\leq i\leq n,i\in Z\right\}\)为多项式\(f(x)\)的点值表示
注意，\(n+1\)个点值只能表示\(n\)次多项式
多项式的基本运算
两个多项式\(\begin{aligned}f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i\end{aligned}\)，\(\begin{aligned}g(x)=\sum_{i=0}^{\infty}b_ix^i\end{aligned}\)
加法
\(\begin{aligned}h(x)=f(x)+g(x)=\sum_{i=0}^{\infty}(a_i+b_i)x^i\end{aligned}\)
乘法
\(\begin{aligned}f(x)=f(x)*g(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j+k=i} (a_j\cdot b_k)x^i\end{aligned}\)
多项式的其它运算
基本套路
从现在开始要用到牛顿迭代了
一般基本套路是运用牛顿迭代倍增求解
- 先构造一个复合多项式\(g\)，使\(g(f)=0\)
- 对\(g\)求导
- 牛顿迭代
为了方便阅读，下面把牛顿迭代再贴一次
\(f\equiv f_{0}-\dfrac {g\left( f_{0}\right) }{g'\left( f_{0}\right) }\left(\ mod\ x^{2n}\right)\)
有一个多项式\(A\)
多项式求逆
设\(f=\dfrac{1}{A}\)，求\(f\)的前\(n\)项
构造\(g\left( f\right) =\dfrac {1}{f}-A=0\)，我们知道\(f\)的常数项为\(A\)的常数项的逆元，接下来开始迭代
此时有 \(g'(f_0)=-\dfrac{1}{f_0^2}\)
\(g'(f_0)=(f_0^{-1}-A)'\)，将\(A\)看为常数项
\(g'(f_0)=(f_0^{-1}-A)'=-f^{-2}_0=-\dfrac{1}{f_0^2}\)
根据牛顿迭代
有\(f\equiv f_0-\dfrac{\dfrac{1}{f_0}-A}{-\dfrac{1}{f_0^2}}\left(\ mod\ x^{2n}\right)\equiv2f_0-Af_0^2\left(\ mod\ x^{2n}\right)\)
至此，我们推完了，拿出来，写在下面
\(f\equiv2f_0-Af_0^2\left(\ mod\ x^{2n}\right)\)
现在我们可以由\(f_0\)去推\(f\)，每次这个模数\(x^y\)的\(y\)会乘以2，也就是说是倍增的
初始时\(n=1\)
时间复杂度\(O(nlogn)\)
多项式求ln
求\(f=ln\ g\)的前\(n\)项
我们对其求导
\(f'\left( x\right) =\dfrac {g'(x)}{g\left( x\right) }\)
复合求导
ln -> u
g -> v
这样，我们只要对\(g\)求逆，然后对\(g\)求导得\(g'\)，之后我们就得到了\(f'\)，再对其积分得到\(f\)
求导和积分都是\(O(n)\)的
时间复杂度\(O(nlogn)\)
多项式exp
求\(f=e^A\) (\(A\)的常数项为\(0\))的前\(n\)项
构造\(g(f)=ln\ f-A\)
我们知道\(f\)的常数项为\(1\)
对\(g\)求导，\(g'(f_0)=\dfrac{1}{f_0}\)
根据牛顿迭代
\(\begin{aligned}f&\equiv f-\dfrac {lnf_{0}-A}{\dfrac {1}{f_{0}}}\left(\ mod\ x^{2n}\right)\\
&\equiv f_{0}\left( 1-\ln f_{0}+A\right) \left(\ mod\ x^{2n}\right)
\end{aligned}\)
至此，我们推完了，拿出来，写在下面
\(f\equiv f_{0}\left( 1-\ln f_{0}+A\right) \left(\ mod\ x^{2n}\right)\)
还是倍增
求\(ln\)和多项式乘法都是\(O(nlogn)\)的，加法是\(O(n)\)的
时间复杂度\(O(nlogn)\)
多项式开方
求\(f=\sqrt {A}\) (\(A\)的常数项存在平方根)的前\(n\)项
构造\(g(f)=f^2-A\)
我们知道\(f\)的常数项为\(A\)常数项的平方根
可用二次剩余方法解
对\(g\)求导\(g'(f_0)=2f_0\)
根据牛顿迭代
\(f\equiv f_{0}-\dfrac {f^{2}_{0}-A}{2f_{0}}\left(\ mod\ x^{2n}\right)\)
时间复杂度\(O(nlogn)\)
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