「模拟赛20190327」 第二题 DP+决策单调性优化

题目描述

小火车虽然很穷，但是他还是得送礼物给妹子，所以他前往了二次元寻找不需要钱的礼物。
小火车准备玩玩二次元的游戏，游戏当然是在一个二维网格中展开的，网格大小是\(n\times m\)的，某些格子是好的，其余的则是不好的。每次你可以选择最底层（也就是第\(n\)层）的某两个相邻的列，并消掉最底下的至多三个格子，并且这两列都得有格子被消掉（也就是\(L\)型或者反着的\(L\)型），消掉格子以后上面的格子会掉落下来。当然最上面的空位会用不好的格子填满。
小火车想得到所有的好格子送给妹子，请问至少得消多少次呢？

输入

第一行两个整数\(n,m\)，表示网格大小。
接下来\(n\)行每行一个长度为\(m\)的字符串，表示这个网格，如果为*则是好格子，为#就不是。

输出

一行一个整数表示答案。

样例

样例输入

3 2
#*
*#
##

样例输出

2

数据范围

对于\(20\%\)的数据\(n,m<=5\)
对于\(50\%\)的数据满足\(n,m<=500\)
对于\(100\%\)的数据满足\(2<=n,m<=2000\)

题解

诈尸啦诈尸啦。
唔……全场码量最小的题。（然而也是唯一没想出来的题）
方法很多，不过有几个很玄幻，所以我采用的是其中一种巧妙、易懂又好写的方法（没有耐心的可直接看解法\(4\)）。

解法\(0\)：暴力模拟+搜索，期望得分：\(20pts\)。

解法\(1\)：看出来这个和好格子的分布没关系，只与每一列最高的好格子有关系，然后\(f[i][j]\)表示前\(i\)列中，\(i-1\)列都消除完了，第\(i\)列恰好消除了\(j\)个最少需要花费多少步，暴力\(DP\)枚举第\(i\)列的\(j\)个是放置了\(k\)个反\(L\)型，可以轻松计算出\(L\)型的个数为\(j-2k\)，暴力\(DP\)，复杂度\(O(n^3)\)，期望得分：\(50pts\)。常数优秀的选手（真实案例：滚动数组+每次只枚举到这一列的最大高度+枚举反\(L\)型而不是枚举\(L\)型获得\(\frac{1}{2}\)的常数）可以获得\(100pts\)。（弥天大雾

解法\(2\)：考虑优化解法\(1\)，找最优决策点太慢了，我们随意脑补一下就知道函数值和\(k\)肯定是一个单谷函数的关系，因为反\(L\)型太多会造成自己的浪费，太少又会导致前面的浪费，感性理解可得单谷性。所以三分——等等，别忘了——这是整数，如果最后算出来相等，是无法得知该往哪边靠的。如图，你不知道你现在是红还是蓝还是绿……

所以引入一个玄学操作：当\(l、r\)接近到一定程度时，就开始暴算。这个算法一看就非常玄学，你要是仔细拿捏这个度，理论上也是能过的（其实也是能过的），时间复杂度\(O(n^2\log n)\)，期望得分：\(??pts\)。

解法\(3\)：考虑其他优化，大佬\(Freopen\)提供了一个单调队列优化。容易发现，当相邻的两列比例在\([\frac{1}{2},2]\)之间时，最优方案是混合使用\(L\)型和反\(L\)型，总花费\(\left\lceil\frac{x+y}{3}\right\rceil\)，然后枚举第\(i\)列与第\(i-1\)列一起被消去的部分长度为多少，对第\(i-1\)列被消去的部分进行讨论。如果是比例小于\(\frac{1}{2}\)或者大于\(2\)，那么就是全部都放的是\(L\)型或者反\(L\)型，这个很好算，否则是两个混搭起来，也就是第二维下标在当前枚举的第\(i\)列被消去的高度的一半和两倍之间的上一列的\(dp\)值，这一坨，由于要整除\(3\)再上取整，为了避免误差，我们按照对\(3\)取余的值分成三坨，这样每一坨内部的就可以用单调队列搞。当更改第\(i\)列的时候，就按照常规操作更新单调对列，这样复杂度是\(O(n^2)\)，期望得分：\(100pts\)。
是不是没听懂？我也没听懂。这个方法随口\(bb\)还是很容易说的，但是写起来可能就没有那么容易了，因此需要更简单的方法。

解法\(4\)：我们看到解法\(2\)是不是感觉很不爽，明明知道一个性质却不能用……于是我们继续思考有没有能够一起使用的性质？
首先，可以显而易见地发现，当\(j\)增大时，\(f[i][j]\)的最优决策点\(k\)是不会变小的，因为第\(i\)列需要消除更多了，如果反\(L\)型的变少是对消除不利的，会造成更多的浪费。那么我们考虑暴算，利用解法\(2\)的单谷性，一旦暴算到一个决策点使得答案更差，那么后面必然不可能更优了，直接退出。再利用决策点\(k\)单调性，当\(j\)增加的时候只需要接着上一次的\(k\)继续暴算就行了，因此第三维的复杂度均摊下来是\(O(1)\)的，代码非常好写，时间复杂度\(O(n^2)\)，期望得分：\(100pts\)。

\(Code:\)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 2005
#define inf 0x3f3f3f3f
void Read(int &p)
{
	p = 0;
	char c = getchar();
	for (; c < '0' || c > '9'; c = getchar());
	for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar())p = p * 10 + c - '0';
}
int n, m, h[N];
int f[N][N];
char S[N][N];
int main()
{
	Read(n), Read(m);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		scanf("%s", S[i] + 1);
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			if (S[i][j] == '*')
				h[j] = max(h[j], n - i + 1);
	}
	memset(f, 0x3f, sizeof(f));
	f[0][0] = 0;
	//f[i][j]表示前i-1列已经被消除完，第i列被消除了j个，最少花费的步数
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int lst = 0;
		for (int j = 0; j <= h[i]; j++)
		{
			for (int k = lst; 2 * k <= j; k++)//k表示第i列用了多少个J型，显然随着j的增大，k必定不会减少
			{
				int w = f[i - 1][max(0, h[i - 1] - k - 2 * (j - 2 * k))] + k + (j - 2 * k);
				if (w > f[i][j])break;
				f[i][j] = w;
				lst = k;
			}
		}
	}
	printf("%d\n", f[m][h[m]]);
}