斜率优化DP

斜率优化DP

适用场景

当DP方程提出常数项后，可以化成\(f[j]=min\{a[i]b[j]+f[i]\}\)

即可以使用斜率优化，正常情况下，要使用\(O(n^2)\)的复杂度，而现在可以优化成\(O(n)\)

显然，方程式可以化成\(y=kx+b\)的形式，这显然是一条直线的解析式

画一个坐标轴，以\(b[j]\)为x轴，\(f[j]\)为y轴，\(a[i]\)为斜率，然后找出最小的截距b（x=0时的y的值）即可

过程

我也不知道为什么，反正用单调队列维护一个凸包

然后二分找到一个P，使前面的斜率<P的斜率<后面的斜率即是最佳答案

然后从队尾删去所有满足前两个点的斜率>后两个点的斜率就行

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll n,s,t[1000000],c[1000000],ls;
ll f[1000000];//在i+1重启机器，前i个任务分成若干组后的费用+分成若干组后多出的后续费用的最小值 
ll q[1000000],l,r;
ll doo(ll x){
	if(l==r){
		return q[l];
	}
	ll L=l,R=r,ans=0;
	while(L<=R){
		ll mid=(L+R)>>1;
		if(f[q[mid+1]]-f[q[mid]]<=ls*(c[q[mid+1]]-c[q[mid]])){
			ans=mid+1;
			L=mid+1;
		}
		else{
			R=mid-1;
		}
	}
	return q[ans];
}
int main(){
	cin>>n>>s;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>t[i]>>c[i];
		t[i]=t[i]+t[i-1];
		c[i]=c[i]+c[i-1];
	}ae
	l=r=1;
	q[1]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ls=s+t[i];
		ll ans=doo(i);
		f[i]=f[ans]-ls*c[ans]+t[i]*c[i]+s*c[n];
		while(l<r&&(f[q[r]]-f[q[r-1]])*(c[i]-c[q[r]])>=(c[q[r]]-c[q[r-1]])*(f[i]-f[q[r]])){
			r--;
		}
		q[++r]=i;
	}
	cout<<f[n];
}