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暑假二期总结

posted on 2023-08-16 12:59:06 | under 总结 | source

内容各种各样：排列组合，概率期望

一、排列组合

https://vjudge.net/contest/575025

1.情侣？给我烧了！

对于一个 \(k\)，设 \(g_x\) 是 \(x\) 对情侣不坐在一起的情况数，易得答案为 \(2^k\times A_n^k\times C_n^k\times g_{n-k}\)。

那么就是如何求 \(g\)。

\[\begin{array}{c} g_x&=&4x(x-1)\left[g_{i-1}+2(x-1)g_{x-2}\right] \end{array} \]

从两对情侣中选出两人，并讨论剩下两人是否在一起即可。

2.建设城市

对于一段长度为 \(n\)，值域大小为 \(m\) 的区间，单调的方案数为 \(C_{m+n-1}^{n-1}\)，即将其看作 \(n\) 个相同的球，\(m\) 个不同的盒子，可空的方案数。

然后如果 \(x\) 和 \(y\) 在同一侧，那么就将其间的所有楼看作一栋。

如果不在同一侧，枚举两栋楼的高度，将大区间拆成 4 段求值即可。

3.数学作业

观察题目，

发现对于异或而言二进制下每一位相对独立。

所以我们可以枚举集合内的元素的每一个二进制位，并计算它的贡献。

对于二进制下第 \(i\) 位，我们假设 \(n\) 个元素中有 \(a\) 个该位为 1，\(b\) 个该位为 0。易得 \(a+b=n\)。

• 如果 \(a=0\)，那么无论怎么选，这一位都不会产生贡献。即贡献为 0。
• 如果 \(a>0\)，那么假设第 \(pos\) 个元素二进制下该位为 1。那么对于剩下 \(n-1\) 种元素的 \(2^{n-1}\) 种选法，每种选法产生的贡献不为 0 就是 \(2^{i-1}\)，如果原来的贡献为 0，那我们选上第 \(pos\) 个元素，将贡献改为 \(2^{i-1}\)；如果本身有贡献，我们就不选第 \(pos\) 个元素，不变他。综合起来，总共献为 \(2^{i-1}\times2^{n-1}\)。

所以，我们将所有的元素全部或起来，最后乘上 \(2^n-1\) 即可

4.

首先，我们可以预处理出每一位前面的左括号个数以及后面的右括号个数，记为 \(l_i\) 和 \(r_i\)。

那么，我们枚举选的第一个右括号的位置 \(i\)，即枚举所有 \(s_i=')'\) 的 \(i\)，然后再枚举左右括号的个数 \(k\)，此时的方案数为 \(\sum\limits_{k=1}^{r_i}C_{l_i}^k\times C_{r_i-1}^{k-1}\)（实际上上界应该是 \(\min(l_i,r_i)\)，但是当 \(m>n\) 时，\(C_n^m=0\)，所以补上几项也无所谓）。

看着上面的式子，我们进行一些改造：

\[\begin{array}{c} &\sum\limits_{k=1}^{r_i}C_{l_i}^k\times C_{r_i-1}^{k-1}\\ =&\sum\limits_{k=1}^{r_i}C_{l_i}^k\times C_{r_i-1}^{r_i-k}\\ =&C_{l_i+r_i-1}^{r_i} \end{array} \]

其中最后一步由范德蒙德恒等式得出。

范德蒙德恒等式

\[\sum\limits_{i=0}^{n}C_n^i\times C_{m}^{r-i}=C_{n+m}^r \]

证明，假设我们要在 \(n+m\) 个球中选出 \(r\) 个，那么我们可以前 \(n\) 个球选 \(i\) 个，后 \(m\) 个球选 \(r-i\) 个，然后根据加乘原理将方案数算出，即是上式。

5.

如果我们现在已经放完了前 \(i-1\) 种球共 \(sum\) 个，方案数为 \(ans\)，而第 \(i\) 种球有 \(a\) 个。

那么，为了保证第 \(i\) 种球在前 \(i-1\) 种球放完后放完，我们第 \(i\) 种球种必有一个放在最后。

然后我们就只有 \(a-1\) 个球了，这些球可以在前面随便放，即放在前面 \(sum\) 个球分出的 \(sum+1\) 个间隙里，方案数为 \(C_{a+sum-1}^{sum}\)（类似盒球问题）。

所以现在的方案数为 \(ans\times C_{a+sum-1}^{sum}\)。

6.Count the Arrays

首先，我们从 \(m\) 个数中选出 \(n-1\) 个（有一对重复）。

然后我们在这 \(n-1\) 个数中选出重复的那个，但不能是最大值，所以 \(n-2\) 种方案。

最后我们枚举剩下的 \(n-3\) 个数是在最大值的左边还是右边，共 \(2^{n-3}\) 种方案。

所以，总方案数为 \(C_m^{n-1}\times (n-2)\times 2^{n-3}\)

7.New Year and Permutation

因为题目要求的是 \(n\) 的排列，所以符合条件的 \(l,r\) 一定是满足一段连续的长度为 \(r-l+1\) 的数在一起。

所以我们枚举这个长度。

对于长度为 \(len\) 的一串数，他们有 \(n-len+1\) 种选择。同时又有 \(n-len+1\) 个位置供他们选择。并且内部有 \(A_{len}^{len}\) 种排列方式。所以总共的方案数就是 \((n-len+1)^2\times A_{len}^{len}\)。

答案就是对其累加求和。

8.Bus Number

发现长度只有 \(18\)，直接暴搜加上可重集排列。

可重集排列

若不同的数共有 \(n\) 种，第 \(i\) 种有 \(a_i\) 个。

则总排列数为 \(\dfrac{(\sum\limits_{i=1}^na_i)!}{\prod\limits_{i=1}^na_i!}\)。

显然是这样，总排列除去每种数内部重复的情况。

9.组合数问题

预处理每种阶乘的质因子数量，然后对于 \(C_n^m\)，按照其定义式判断是否每种质因子的数量都不小于 \(k\) 的数量，然后前缀和统计答案即可

10.虔诚的墓主人