概率和数学期望小结

概率:

1.一件事情发生的理论可能性。

2.∑pi=1

数学期望:

1.一件事情(随机变量)的取值结果和概率乘积的总和。

2.E(x)=∑pi*xi (期望定义)

3.E(ax+by)=aE(x)+bE(y)  (期望的线性性质)

4.E(x*y)=E(x)*E(y)(x,y独立时一定成立)

 

例题1:

绿豆蛙的归宿

Description:

给出一个有向无环图,起点为1终点为N,每条边都有一个长度,并且从起点出发能够到达所有的点,所有的点也都能够到达终点。

绿豆蛙从起点出发,走向终点。 到达每一个顶点时,如果有K条离开该点的道路,绿豆蛙可以选择任意一条道路离开该点,并且走向每条路的概率为 1/K 。 现在绿豆蛙想知道,从起点走到终点的所经过的路径总长度期望是多少?

Solution:

基础期望。

f[i]:从i到n的期望长度。f[i]=1/k * ∑ ( f[ver[j]] + z[val[j]] ) j是边号。f[n]=0;

反向建边拓扑排序转移即可。

为什么是i到n?不是1~i?

1.因为,1~i设法,不能准确转移到f[ver[i]] , 因为1可能不会到i,期望长度没有意义。

2.因为,这样的转移,概率之和是决策点的度数倒数之和,可能不是1,转移无法解释。

 

例题2:

游走

Description:

一个无向连通图,顶点从1编号到N,边从1编号到M。 小Z在该图上进行随机游走,初始时小Z在1号顶点,每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边,沿着这条边走到下一个顶点,获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束,总分为所有获得的分数之和。 现在,请你对这M条边进行编号,使得小Z获得的总分的期望值最小。

Solution:

首先进行贪心。经过次数最多的边赋值最小的编号。

转化为记录边的经过次数期望。不好算。

点的经过次数期望好算。p[i]=∑p[j]*1/d[j]

p[1]=∑p[j]*1/d[j] + 1

并且,因为到了n就停止了,所以与n有关的p[n]转移都不存在。

并且,p[n]=1;期望一定经过有且只有一次。

发现,无法递推。成环。

就列方程。高斯消元。

再求出经过边i的期望次数:l[i]=p[x]*1/d[x] + p[y]*1/d[y] (x,y两端点编号)

之后模拟就好。

 

例题3:

收集邮票:

见:bzoj1426 收集邮票

 

例题4:

OSU!

Description:

一共有n次操作,每次操作只有成功与失败之分,成功对应1,失败对应0,n次操作对应为1个长度为n的01串。在这个串中连续的 X个1可以贡献X^3 的分数,这x个1不能被其他连续的1所包含(也就是极长的一串1,具体见样例解释)
现在给出n,以及每个操作的成功率,请你输出期望分数,输出四舍五入后保留1位小数。
N<=100000

xk[i]表示,到了i位置,连续有的1的个数的k次方的期望。

x1[i]=(x1[i-1]+1)*a[i]
x2[i]=(x2[i-1]+2*x1[i-1]+1)*a[i]
x3[i]=(x3[i-1]+3*x2[i-1]+3*x1[i-1]+1)*a[i]
x3[i]-x3[i-1]

答案数组:i位置期望得分
ans[i]=ans[i-1]+(3*x2[i-1]+3*x1[i-1]+1)*a[i];
答案是ans[n]
解释一下最后一行,如果第i位为1,答案增加的量是E((t[i-1]+1)^3)-E((t[i-1])^3)

计算的是增加量,否则难以快速计算这段1的开头位置。

增加量只有这么多,因为之前和ans[i-1]是一样的。
t[i]表示i往前有连续几个1
这是一个随机变量,不是期望值。

E(t[i])=x1[i]...

 

 

(update 2018.9.19)

例题5

noip 2016 换教室

线性期望dp的经典题目了。

此题关键在于弄清楚:E(x)=P(x)*x

 

例题6

[JLOI2012]时间流逝

不太正规的树形期望dp,和线性dp还有一些关联。

关键点在于状态设计和环形的线性处理。

 

 

例题7

 [SHOI2014]概率充电器

SHOI2014,树形+二次扫描换根+期望dp

其实看似多了一个树形结构,但是树形结构性质优美,

树形dp也是比较有规律的。

 

例题8

[Noi2012]迷失游乐园

同样是:树形+二次扫描换根+期望dp

但是由于基环树的出现,分类讨论了,思维量就大多了。

 

 

 

总结:

数学期望以难以证明的性质,花样繁出的特点闻名于OI界。

其难以下手的恐惧,令不少蒟蒻心有余而力不足。

还是抓住关键的线性递推式,和期望定义 。 慢慢仔细分析。

对于期望状态的设计:

1.多个终点一个起点,就f[i]表示,从i到终点的期望步数,f[s]即为答案

2.多个起点一个终点,就f[i]表示,从起点到i的期望步数,f[t]即为答案

3.与终点无关的树形期望dp,通常往子树对i,父亲对i影响考虑,和一般的树形dp类似。

posted @ 2018-07-30 21:07  *Miracle*  阅读(1990)  评论(0编辑  收藏  举报