[NOIP2017]逛公园
2018-05-24
题目大意：
给一张由非负边组成的图，（可能有零边），设从出发点1到终点n的路径的最短路为d，求出所有到达n的路径中，路程长度为d~d+k的方案总数。（取模）
若有无数条，输出-1；
分析：
暴力：
1.30分k=0，最短路计数暴力妥妥30分
2.70分，因为，k<=50，比较小，而n<=100000，所以是NK复杂度。
每个点的偏移量k可以由之前能到达这个点的小于等于k的值转过来，
所以设f[i][j]表示，在第i号点，距离到i号点最短路的偏移量为j的方案总数。也就是说，到i的路径长度为dis[i]+j的方案数。(dis[i]为从1到i最短路长度）
其中,j>=0&&j<=k
可以知道，从1-u-v和从1-v（路径都是最短路）相比较，偏移量就是：dis[u]+val[u,v]+j-dis[x]这么长。
发现，同一层之间可能有转移。
不能有后效性，那么转移顺序怎么处理？
发现，同一层之间有转移的话，必然是从dis小的到dis大的。
dis大的不可能转移到dis小的，并且偏移量不变。
所以对dis排序。
至于dis相同的，也不可能之间产生转移。随便排序就好了。
100分
但是刚才这个办法显然有坑。剩下的数据点，有0边。
先判断-1，发现，有0环，并且走0环可以是一条符合长度偏移量<=k的方案。
（但是我蒟蒻，没想这么多，直接判的零环，没想到过了。看来没有“有零环但不在方案数中”的测试点）
（所以代码其实有错，正解应该是判断0环上的是否存在一点x符合 dis1[x]+disn[x]<=dis[n]+k 这里，dis1表示从1出发最短路，disn表示从n出发最短路）
(这样才能保证走到0环后，随便走零边都是一种合法方案。而不是还没到0环就超过了k）
对于0链，a->b->c，w均为0，dis值是一样的，不能按dis值随便排了，必须先更新a,再b，再c。
所以，拓扑排序。专为0边准备。
把所有0边揪出来，判断-1的时候，也就进行了拓扑排序。
所以，现在，结点排序的优先级定义为：dis不同，dis小的优，否则拓扑序小的优。
spfa最短路。（有人用线段树，我太弱不会）
这个题，不开O2，洛谷还是要T两个点。很差。
但是换了LibreOJ就2000ms一个点AC了。看来luogu评测机还是比较慢。
估计CCF老爷机要卡爆了。就算考试想出正解，估计也就卡到70分了。
总结：spfa+拓扑+dp+卡常
代码：
#include<bits/stdc++.h> #define num ch-'0' using namespace std; typedef long long ll; const int N=100000+10; const int M=200000+10; const int inf=(0x3f3f3f3f)*2; int n,m,K,p; int rd() { int x=0;char ch; while(!isdigit(ch=getchar())); for(x=num;isdigit(ch=getchar());x=x*10+num); return x; } struct node{ int nxt,to,val; }bian[M]; struct zero{ int nxt,to; }e0[M]; int has[N],tot; int hd[N],cnt1;//真正边 int pp[N],cnt3;//0边 int du[N];//度数 int dis[N];//最短路 int da[N];//最终的循环顺序da[i]表示排名为i的节点 int q[N*2],l,r; bool vis[N]; bool flag=true;//零环bool ll f[N][52];//dp数组 int id[N];//拓扑序，主要是针对0边处理 void add1(int x,int y,int z) { bian[++cnt1].nxt=hd[x]; bian[cnt1].to=y; bian[cnt1].val=z; hd[x]=cnt1; } void add3(int x,int y)//建0边 { e0[++cnt3].nxt=pp[x]; e0[cnt3].to=y; pp[x]=cnt3; } bool jud()//判零环，这其实是错的。 { memset(vis,0,sizeof vis); l=1;r=0; for(int i=1;i<=n;i++) { if(du[i]==0) q[++r]=i; } while(l<=r) { int x=q[l++]; vis[x]=1; for(int i=pp[x];i;i=e0[i].nxt) { int y=e0[i].to; du[y]--; if(du[y]==0) q[++r]=y; } } for(int i=1;i<=n;i++) id[q[i]]=i; for(int i=1;i<=tot;i++) { if(vis[has[i]]!=1) return true; } return false; } void spfa()//最短路 { memset(vis,0,sizeof vis); for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=inf; dis[1]=0; vis[1]=1; l=1;r=0; q[++r]=1; while(l<=r) { int now=q[l++]; vis[now]=0; for(int i=hd[now];i;i=bian[i].nxt) { int y=bian[i].to; if(dis[y]>dis[now]+bian[i].val) { dis[y]=dis[now]+bian[i].val; if(!vis[y]) { vis[y]=1; q[++r]=y; } } } } } bool cmp(int x,int y){//排序，决定循环顺序 return dis[x]==dis[y]?id[x]<id[y]:dis[x]<dis[y]; } void work()//最终循环 { l=1;r=0; for(int i=1;i<=n;i++) da[i]=i; sort(da+1,da+n+1,cmp); f[1][0]=1; for(int k=0;k<=K;k++)//注意，k从小到大枚举，并且放在外面。 for(int j=1;j<=n;j++) { int x=da[j]; for(int i=hd[x];i;i=bian[i].nxt) { int y=bian[i].to; if(dis[x]+bian[i].val-dis[y]+k<=K) f[y][dis[x]+bian[i].val-dis[y]+k]=(f[y][dis[x]+bian[i].val-dis[y]+k]+f[x][k])%p; } } } void clear()//数组清空 { cnt1=0; cnt3=0; flag=true; memset(f,0,sizeof f); memset(du,0,sizeof du); memset(hd,0,sizeof hd); memset(pp,0,sizeof pp); tot=0; } int main() { int T; scanf("%d",&T); while(T) { clear(); n=rd(),m=rd(),K=rd(),p=rd(); int x,y,z; for(int i=1;i<=m;i++) { x=rd(),y=rd(),z=rd(),add1(x,y,z); if(z==0){//将所有的0边的两端的度数都记录下来，便于之后判断零环和拓扑排序 has[++tot]=x,has[++tot]=y; add3(x,y);du[y]++; } } if(jud()){ printf("-1\n"); } else{ spfa(); work(); ll ans=0; for(int i=0;i<=K;i++) { ans=(ans+f[n][i])%p; } printf("%lld\n",ans); } T--; } return 0; }
upda：2018.11.5
之前太菜了。
这个代码可以不卡常直接AC：
#include<bits/stdc++.h> #define reg register int #define il inline #define numb (ch^'0') using namespace std; typedef long long ll; const int N=100000+5; const int M=200000+5; int n,m,t; int k,mod; void rd(int &x){ char ch;x=0; while(!isdigit(ch=getchar())); for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb); } struct node{ int nxt,to; int val; }e[2*M],bian[2*M]; int hd[N],cnt1; int pre[N],cnt2; bool in[N]; int du[N]; int f[N][55]; int d[N]; int po[N]; bool zero[N]; bool vis[N]; void add(int x,int y,int z){ e[++cnt1].nxt=hd[x]; e[cnt1].to=y; e[cnt1].val=z; hd[x]=cnt1; } void add_c(int x,int y){ bian[++cnt2].nxt=pre[x]; bian[cnt2].to=y; pre[x]=cnt2; } int dis[N]; int q[10*N],l,r; void spfa(){ l=1,r=0; memset(vis,0,sizeof vis); memset(dis,0x3f,sizeof dis); dis[1]=0; // f[1][0]=1; q[++r]=1; while(l<=r){ int x=q[l++];vis[x]=0; // cout<<" x "<<x<<" dis "<<dis[x]<<endl; for(int i=hd[x];i;i=e[i].nxt){ int y=e[i].to; // cout<<" yy "<<y<<endl; if(dis[y]>dis[x]+e[i].val){ dis[y]=dis[x]+e[i].val; //f[y][0]=f[x][0]; if(!vis[y]){ vis[y]=1; q[++r]=y; } } } } } bool topo(){ l=1,r=0; memset(po,0x3f,sizeof po); memset(in,0,sizeof in); for(reg i=1;i<=n;++i){ d[i]=i; if(zero[i]&&du[i]==0){ q[++r]=i; } } int lp=0; while(l<=r){ int x=q[l++]; po[x]=++lp; // cout<<" xxx "<<x<<endl; in[x]=1; for(int i=pre[x];i;i=bian[i].nxt){ int y=bian[i].to; du[y]--; if(du[y]==0){ q[++r]=y; } } } for(reg i=1;i<=n;++i){ if(zero[i]&&!in[i]) return false; } return true; } bool cmp(int a,int b){ if(dis[a]==dis[b]) return po[a]<po[b]; return dis[a]<dis[b]; } void clear(){ memset(f,0,sizeof f); memset(zero,0,sizeof zero); memset(du,0,sizeof du); memset(hd,0,sizeof hd); memset(pre,0,sizeof pre); cnt1=cnt2=0; } int main(){ scanf("%d",&t); while(t--){ scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&mod); clear(); int x,y,z; for(reg i=1;i<=m;++i){ rd(x);rd(y);rd(z); add(x,y,z); if(!z){ add_c(x,y); du[y]++; zero[x]=1;zero[y]=1; } } spfa(); bool fl=topo(); if(!fl){ puts("-1"); continue; } sort(d+1,d+n+1,cmp); f[1][0]=1; for(reg o=0;o<=k;++o){ for(reg i=1;i<=n;++i){ int x=d[i]; // cout<<" now "<<x<<endl; for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){ int y=e[i].to; // cout<<" goto "<<y<<endl; int to=dis[x]+o+e[i].val-dis[y]; if(to<=k){ f[y][to]=(f[y][to]+f[x][o]>=mod)?f[y][to]+f[x][o]-mod:f[y][to]+f[x][o]; } } } } ll ans=0; for(reg i=0;i<=k;++i){ ans=ans+f[n][i]; if(ans>=mod) ans-=mod; } printf("%lld\n",ans); } return 0; }
