LCA 最近公共祖先

1.倍增LCA

通过记录f[i][j],每个点第2的j次方个父亲的编号,来找LCA

代码中,先要处理出每个点的深度,和father(f[i][0]),然后倍增求出所有的祖先。

work的时候,利用二进制拆分的思想,先把两个节点向上翻到同一个深度,再同时向上翻,直到到了lca的儿子位置,再返回f[x][0](f[y][0])即可。

优点:容易理解,代码不难。

缺点:f数组空间较大,并且求法单一,难以与其他模型结合。

复杂度:每次O(logn),多次O(mlogn)

核心部分:

int main()
{
   for(int j=1;j<=L;j++)
     for(int i=1;i<=n;i++)
     {
        f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
     }
    dep[0]=-1;//important!!
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int t=i;
        for(int j=L;j>=0;j--)
        if(f[t][j]!=0)
        {
            t=f[t][j];
            dep[i]+=(1<<j);
        }
    }
}
int LCA(int x,int y)
{
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    for(int j=L;j>=0;j--)
    {if(dep[f[x][j]]>=dep[y])
     x=f[x][j];
    }

    if(x==y) return x;
    for(int j=L;j>=0;j--)
     if(f[x][j]!=f[y][j])
      x=f[x][j],y=f[y][j];
    return f[x][0]; 
}

2.树链剖分LCA

常规树剖操作,两次dfs,找到top数组。

每次,将dep[top[]]较深的向上找到fa[top[]],直到top[x]=top[y]为止。最后返回浅的位置编号。

优点:可以和树剖其他操作结合,找lca就是分分钟的事。

缺点:单纯lca代码量较大,(也不太大),记录东西较多,容易漏。

核心部分:

int fa[N],dep[N],son[N],top[N],size[N];//全部需要的数组
int work(int x,int y)//lca部分
{
    while(top[x]!=top[y])
    {
        if(dep[top[x]]>dep[top[y]]) swap(x,y);
        y=fa[top[y]];
    }
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    return y;
}

3.Tarjan LCA

利用tarjan的思想,通过并查集实现对子树的缩点,离线操作处理LCA问题。

用邻接表记录下询问信息之后,我们只需要从根节点开始处理,不停询问子树后回溯。边求边更新并查集fa的值。

向下循环的时候,每一个点被访问的时候,fa都是自己的编号。

当一棵子树被处理完了之后,这棵子树的fa就到了这棵树的根节点,以后还没有处理的lca,都至少已经是这个fa了。

处理子树x的时候,先循环与之有关的询问,如果y已经vis过了,就可以更新lca为fa[y],因为x必然在fa[y]的子树中,且不在y所在的子树中。

之后向下循环,处理所有的儿子,回溯的时候,处理fa[y]=x;

这样复杂度就是线性的,每个询问被循环最多两次,每个子树被访问一次。

优点:复杂度低。O(n+m)。

缺点:必须离线操作。

复杂度:O(n+m)

代码核心:

void add2(int x,int y,int numb)
{
    w[++tot].nxt=pre[x];
    w[tot].to=y;
    w[tot].num=numb;
    pre[x]=tot;
}
int fin(int x)
{
    if(fa[x]==x) return x;
    return fa[x]=fin(fa[x]);
}
void tarjan(int x)
{
    fa[x]=x;
    vis[x]=1;
    for(int i=pre[x];i;i=w[i].nxt)
    {
        int y=w[i].to;
        if(vis[y])
         lca[w[i].num]=fin(y);
    }
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to;
        if(!vis[y])
        {
            tarjan(y);
            fa[y]=x;
        }
    }
}

参考Tarjan离线算法求最近公共祖先(LCA)

 


 

udpa:2019.2.1

O(1)求最近公共祖先

吊打一切LCA算法 

 

因为一定是从一个点走到另外一个点上,还是比较显然的

RMQ即可O(1)查询

但是预处理是O(nlogn)的

经典应用:WC2018通道

 

posted @ 2018-05-13 12:02  *Miracle*  阅读(589)  评论(1编辑  收藏  举报