[学习笔记]支配树
被支配树支配的恐惧
定义
显然，这个支配关系是一个树（或者如果有的点不能从r到达，就是一个树+一堆点）。
首先不会成环，其次也不会是DAG
即如果A支配C，B支配C，那么A和B之间必然有支配关系
解法
首先是DAG很好做：
一般有向图：有环的存在，不能topo
方法分三步：
转化为找半支配点
idom[x]表示x的支配点编号
sdom[x]表示x的半支配点编号
先找到原图一个生成树，找到每个点的dfn序
定义半支配关系为：
定义半支配点为：
即满足支配关系dfn最小的点
一些认识：
A对于dfs树
B对于支配和半支配
半支配点也一定是x在dfs树上的祖先
请大量运用反证法和dfs算法的深度优先性质进行证明
虽然sdom[x]可能不是idom[x]
但是可以断言：
证明：
实在不懂可以画图感性理解
所以如果知道sdom[x],现在已经可以专化为求DAG的支配树了
如何找半支配点
这个做法就是前面两个认识的两种情况。
dfn[z]>dfn[y]启发我们倒序处理
这样，x在T'的祖先z一定都是之前加入的，一定比y的dfn大，直接取即可。
实现维护T'？
改进：同时找支配点
（fix：每个点从一个祖先连过来恰好一条边）
证明略
直接看算法流程吧：
从简化之后的G'角度进行考虑（基本上就是一个树形结构了），就很好理解了。
补充：
第5步之所以找fa[y]，因为先有第4步，使得当前的根是fa[y]，（4/5两步交换，就可以直接处理sdom[x]=y的点x了）
第6步的标记还原：必须dfs序正序处理。打标记，如果没有idom[x]=sdom[x]，那么进行处理。
开始时候，令sdom[x]=x可以省去很多麻烦！！
Code
注意比较函数的书写。argmin与argmax
#include<bits/stdc++.h> #define reg register int #define il inline #define fi first #define se second #define mk(a,b) make_pair(a,b) #define numb (ch^'0') #define pb push_back #define solid const auto & #define enter cout<<endl #define pii pair<int,int> using namespace std; typedef long long ll; template<class T>il void rd(T &x){ char ch;x=0;bool fl=false; while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true); for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb); (fl==true)&&(x=-x); } template<class T>il void output(T x){if(x/10)output(x/10);putchar(x%10+'0');} template<class T>il void ot(T x){if(x<0) putchar('-'),x=-x;output(x);putchar(' ');} template<class T>il void prt(T a[],int st,int nd){for(reg i=st;i<=nd;++i) ot(a[i]);putchar('\n');} namespace Miracle{ const int N=2e5+5; const int M=3e5+5; int n,m; struct node{ int nxt,to; }e[M]; int hd[N],cnt; void add(int x,int y){ e[++cnt].nxt=hd[x]; e[cnt].to=y; hd[x]=cnt; } vector<int>mem[N],fr[N]; int fa[N],dfn[N],fdfn[N],idom[N],sdom[N],df; int gf[N],val[N]; bool cmp(int x,int y){//x<y? return dfn[sdom[x]]<dfn[sdom[y]]; } int chm(int x,int y){ return dfn[x]<dfn[y]?x:y; } int fin(int x){ if(gf[x]==x) return x; int rt=fin(gf[x]); val[x]=cmp(val[x],val[gf[x]])?val[x]:val[gf[x]]; return gf[x]=rt; } void dfs(int x){ dfn[x]=++df;fdfn[df]=x; for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){ int y=e[i].to; if(dfn[y]) continue; fa[y]=x; dfs(y); } } void wrk(){ for(reg i=n;i>=2;--i){ int x=fdfn[i]; for(reg j=0;j<(int)fr[x].size();++j){ int y=fr[x][j]; if(dfn[y]<dfn[x]){ sdom[x]=chm(y,sdom[x]); }else{ int haha=fin(y); sdom[x]=chm(sdom[val[y]],sdom[x]); } } mem[sdom[x]].push_back(x); gf[x]=fa[x]; x=fa[x]; for(reg j=0;j<(int)mem[x].size();++j){ int y=mem[x][j]; int haha=fin(y); if(sdom[val[y]]==sdom[y]) idom[y]=sdom[y]; else idom[y]=val[y]; } } for(reg i=2;i<=n;++i){ int x=fdfn[i]; if(idom[x]!=sdom[x]) idom[x]=idom[idom[x]]; } } int sz[N]; void sol(int x){ sz[x]=1; for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){ int y=e[i].to; sol(y); sz[x]+=sz[y]; } } int main(){ rd(n);rd(m); int x,y; for(reg i=1;i<=m;++i){ rd(x);rd(y);add(x,y); fr[y].push_back(x); } dfs(1); for(reg i=1;i<=n;++i){ sdom[i]=i,val[i]=i,gf[i]=i; } wrk(); memset(hd,0,sizeof hd);cnt=0; for(reg i=2;i<=n;++i){ add(idom[i],i); } // prt(dfn,1,n); // prt(fa,1,n); // prt(sdom,1,n); // prt(idom,1,n); sol(1); prt(sz,1,n); return 0; } } signed main(){ Miracle::main(); return 0; } /* Author: *Miracle* */
例题
其实就是[ZJOI2012]灾难
别的没什么题目。。。。
