luoguP4841 城市规划

题意:

求n个点的无相连通图的个数。有编号

 

思路一:

黏博客

至于为什么除以k!:(没有博客中说的那么简单)

实际上,

对于一个n的用k个自然数的拆分,每一个拆分的贡献是:

$\frac{n!*\Pi contribution}{\Pi cnt[i]!*\Pi i!}$这里i是所有出现过的自然数,cnt表示出现次数

因为认为集合两两之间都是不同的,但是对于相同的i,会计算多次。要除以出现次数的阶乘。对于不同的i,本身sz就不同,所以不会重复

然后考虑每个自然数拆分的方案数:

$f^k$

但是每个自然数拆分,会被计算:$\frac{k!}{\Pi cnt[i]}$次,再除掉

所以,实际上,贡献就是:$\frac{n!*\Pi contribution}{k!*\Pi i!}$

就是$\frac{f^k}{k!}$的第n项再乘上$n!$

 

然后就可以用麦克劳林展开,推出e^f的式子了

 

思路二:

考虑dp

f[i],i个点的ans

无向图很好算.2^(C(n,2))

考虑在所有无向图中减去不连通的

不连通意味着某个点不能到达所有其他点

 

不妨从1来观察

枚举和1的联通块大小j

设g(n,j),表示n个点,和1联通块大小为j的无向连通图个数

g(n,j)=C(n-1,j-1)*2^(C(n-j,2))*f[j]

 

f[n]=2^(C(n,2)-∑g(n,j) (1<=j<=n-1)

把g和f的关系带进去

然后移项过去,发现可以把j范围变成(1<=j<=n)就消掉了f[n]项

组合数展开,可以NTT

然后再转化成逆元

 

注意,这个逆元是在mod x^(n+1)下的

最后乘出来的长度是2*n的

注意长度

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define reg register int
#define int long long
#define numb (ch^'0')
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){
    char ch;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=8*130000+5;
const int mod=1004535809;
const int G=3;
ll GI;
int n;
ll jie[N],ivv[N];
ll f[N],ni[N],p[N],g[N],t[N],d[N],e[N];
int rev[N];
int qm(int x,int y){
    int ret=1;
    while(y){
        if(y&1) ret=(ll)ret*x%mod;
        x=(ll)x*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
int mo(int x){
    return x>=mod?x-mod:x;
}
void pre(int n){
    for(reg i=0;i<n;++i){
        rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?n>>1:0);
    }
}
void NTT(int *f,int n,int c){
    for(reg i=0;i<n;++i){
        if(i>rev[i]){
            f[i]^=f[rev[i]]^=f[i]^=f[rev[i]];
        }
    }
    for(reg p=2;p<=n;p<<=1){
        int gen;
        if(c==1) gen=qm(G,(mod-1)/p);
        else gen=qm(GI,(mod-1)/p);
        for(reg l=0;l<n;l+=p){
            int buf=1;
            for(reg k=l;k<l+p/2;++k){
                int tmp=(ll)buf*f[k+p/2]%mod;
                f[k+p/2]=mo(f[k]-tmp+mod);
                f[k]=mo(f[k]+tmp);
                buf=(ll)buf*gen%mod;
            }
        }
    }
}
void calc(int *f,int *g,int n){
    for(reg i=0;i<n;++i){
        rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?n>>1:0);
    }
    NTT(f,n,1);NTT(g,n,1);
    for(reg i=0;i<n;++i) f[i]=(ll)f[i]*g[i]%mod;
    NTT(f,n,-1);
    ll iv=qm(n,mod-2);
    for(reg i=0;i<n;++i) f[i]=(ll)f[i]*iv%mod;
}
void inv(int *f,int *g,int n){//mod n
    if(n==1){
        g[0]=qm(f[0],mod-2);return;
    }
    inv(f,g,n>>1);
    for(reg i=0;i<n/2;++i) d[i]=g[i],e[i]=f[i];
    for(reg i=n/2;i<=n;++i) d[i]=0,e[i]=f[i];
    for(reg i=n+1;i<=2*n;++i) d[i]=0,e[i]=0;
    
    for(reg i=0;i<2*n;++i){
        rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?(2*n)>>1:0);
    }
    NTT(d,2*n,1);NTT(e,2*n,1);
    for(reg i=0;i<2*n;++i){
        g[i]=mo(mo(2*d[i])-(ll)e[i]*d[i]%mod*d[i]%mod+mod);
    }
    NTT(g,2*n,-1);
    ll iv=qm(2*n,mod-2);
    for(reg i=0;i<2*n;++i){
        if(i<n) g[i]=(ll)g[i]*iv%mod;
        else g[i]=0;
    }
}
int main(){
    rd(n);
    GI=qm(G,mod-2);
    int len,lp;
    for(lp=n,len=1;len<=lp;len<<=1);
    jie[0]=1;
    for(reg i=1;i<len;++i){
        jie[i]=jie[i-1]*i%mod;
    }    
    ivv[len-1]=qm(jie[len-1],mod-2);
    for(reg i=len-2;i>=0;--i){
        ivv[i]=ivv[i+1]*(i+1)%mod;
    }
    for(reg i=0;i<len;++i){
        g[i]=qm(2,(ll)(i-1)*i/2)*ivv[i]%mod;
        if(i)t[i]=qm(2,(ll)(i-1)*i/2)*ivv[i-1]%mod;
        else t[i]=0;
    }
//    cout<<" gg "<<endl;
//    for(reg i=0;i<=n;++i){
//        cout<<g[i]<<" ";
//    }
//    cout<<" tt "<<endl;
//    for(reg i=0;i<=n;++i){
//        cout<<t[i]<<" ";
//    }cout<<endl;
    inv(g,ni,len);
//    //for(reg i=n+1;i<=)
//    cout<<" ni "<<endl;
//    for(reg i=0;i<=10;++i){
//        cout<<ni[i]<<" ";
//    }cout<<endl;
    
    len*=2;
    pre(len);
    NTT(ni,len,1);NTT(t,len,1);
    for(reg i=0;i<len;++i){
        f[i]=ni[i]*t[i]%mod;
    }
    NTT(f,len,-1);
    ll iv=qm(len,mod-2);
    for(reg i=0;i<len;++i) f[i]=f[i]*iv%mod;
    printf("%lld",f[n]*jie[n-1]%mod);
    return 0;
}

}
signed main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
   Date: 2019/2/3 21:43:20
*/

 

posted @ 2019-02-03 23:34  *Miracle*  阅读(278)  评论(0编辑  收藏  举报