欧拉函数小结

欧拉函数：

φ(n)表示1~n中和n互素的数目

 

要处理出欧拉函数。先证明φ(p)=p-1.(p为素数)

根据互素的概念。两个数的公约数只有1，那么这两个数互素。再根据素数的定义。公约数除了本身以外只有1的数为素数。所以得证φ(p) = p-1.

 

再证明欧拉函数为不完全积性函数。

φ(m1*m2) = φ(m1)*φ(m2) 其中 m1和m2互素。即gcd(m1,m2)=1.

证明过程在我另外一篇博文中。我觉得那种证明比较好。当然还有别的比较好的证明方法。

http://www.cnblogs.com/Milkor/p/4464515.html

 

思考一个这样的经典问题。知道一个函数是积性的（其实只要是在两个互素数中的积性）。

那么根据算术基本定理（任何一个数可以拆分成素数的乘积形式）

φ(m) = φ(p1^k1) * φ(p2^k2) * φ(p3^k3) *...

那么我们只要求出φ(p^k)就可以求出任意数的对应的欧拉函数的对应值。

 

1~p^k 一共有p^k个数。

其中是p的倍数为 <p,2p,3p...p^k> （最后那个数可以列不等式找出来）。个数为p^k/p = p^(k-1).

所以和p^k互素的数的个数为 p^k - p^(k-1).

 

那么根据上述。可得

以上便是欧拉公式的来源。

 

顺便根据我们上述的推论，我们再推导一下线性筛法欧拉函数中。

当i%j==0的时候。也就是j为i的因子的时候。

 

φ(i*j)=φ(i)*j.这个结论吧。

证明过程：

 

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define N 100

int primeE[N+5];
int primeM[N+5];
int numE;
int numM;
bool mark[N+5];
int euler[N+5];
int mobius[N+5];

void Euler()
{
    int i,j;
    numE = 0;
    memset(mark,0,sizeof(mark));
    euler[1] = 0;
    for(i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!mark[i])
        {
            primeE[numE++] = i;
            euler[i]=i-1;
        }
        for(j=0;j<numE;j++)
        {
            if(i*primeE[j]>N){break;}
            mark[i*primeE[j]] = 1;
            if(i%primeE[j]==0)
            {
                euler[i*primeE[j]] = euler[i]*primeE[j];
                break;
                /*
                原理:例如要构造24
                3*8 = 24 = 2*12
                8中有2的因子。8拆分成2*i. 把i给3 一定可以构造出最小的质因子。
                把一个合数当做最小质因子*另外一个数 来处理。     
                */
            }
            else
            {
                euler[i*primeE[j]] = euler[i]*euler[primeE[j]];
            }
        }
    }
}
void Mobius()
{
    int i,j;
    numM = 0;
    memset(mark,0,sizeof(mark));
    mobius[1] = 1;
    for(i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!mark[i])
        {
            primeM[numM++] = i;
            mobius[i] = -1;
        }
        for(j=0;j<numM;j++)
        {
            if(i*primeM[j]>N){break;}
            mark[i*primeM[j]] = 1;
            if(i%primeM[j]==0)
            {
                mobius[i*primeM[j]] = 0;
                break;
            }
            else
            {
                mobius[i*primeM[j]] = -mobius[i];
            }
        }
    }
}
int main()  
{  
    Euler();
    Mobius();
    int i;
    for(i=0;i<numE;i++)
    {
        printf("%d ",primeE[i]);
    }
    printf("\n");
    for(i=0;i<numM;i++)
    {
           printf("%d ",primeM[i]);
    }
    printf("\n");
    for(i=1;i<=N;i++)
    {
        printf("%d=%d ",i,euler[i]);
    }
    printf("\n");
    for(i=1;i<=N;i++)
    {
        printf("%d=%d ",i,mobius[i]);
    }
}