如何不用狄利克雷卷积证明莫比乌斯函数性质二

首先你要知道莫比乌斯函数性质二是什么：

\[\sum\limits_{d\vert n}\cfrac{\mu(d)}{d}=\cfrac{\varphi(n)}{n} \]

这个性质阐述了莫比乌斯函数和欧拉函数之间的联系，可以用狄利克雷卷积简单证明，但是我不会。

网上和 OI-Wiki 基本都是用狄利克雷卷积证明的，所以如何用普通数论知识证明呢？

首先你要知道莫比乌斯函数性质一是什么：

\[\sum\limits_{d\vert n}\mu{(d)}=[n=1] \]

这个是莫比乌斯函数的求和公式，证明略。

考虑欧拉函数的实际意义：

\[\varphi(n)=\sum\limits_{i=1}^n[\gcd(n,i)=1] \]

我们发现他莫名和莫比乌斯函数的和式有点关系：

\[\sum\limits_{i=1}^n[\gcd(n,i)=1]=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{d\vert \gcd(n,i)}\mu(d) \]

发现只有 \(i\) 为 \(d\) 的倍数且 \(d\vert n\) 的时候后面的式子才会被统计到。而 \(n\) 中共有 \(\cfrac{n}{d}\) 个 \(d\) 的倍数，那么对于一个 \(d\) 就都乘上 \(\cfrac{n}{d}\)。

UPD:原来的表述有一点不严谨，已更改

好像就证出来了，完整如下：

\[\begin{aligned} \varphi(n)&=\sum\limits_{i=1}^n[\gcd(n,i)=1]\\ &=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{d\vert \gcd(n,i)}\mu(d)\\ &=\sum\limits_{d\vert n}\mu(d)\cfrac{n}{d} \end{aligned} \]

两边同除 \(n\)，得到更常见的性质二：

\[\cfrac{\varphi(n)}{n}=\sum\limits_{d\vert n}\cfrac{\mu(d)}{d} \]

嗯，确实，这个性质基本也用不到。