[数学]题解 P1128 [HNOI2001] 求正整数
说实话，是一个很好的题目。里面有很多新的思路。
首先， csy 大佬告诉我一个定理。
假设 \(N = \prod\limits p_i^{k_i}\) 那么 \(N\) 的因数个数为 \(\prod\limits {(k_i+1)}\)
显然，在这道题里 \(n = \prod\limits {(k_i+1)}\)
这就很好用了，那么我就想到了去将输入的 \(n\) 因数分解，就是找到那些个 \(k_i+1\) 。
在一节体育课上，我想到了其实每一种分解方法都是一种合法的答案。这时候不是只要找每一种分解就 ok 了吗？ 思考一下时间复杂度，大概是在 \(\mathbf{O}(n\sqrt n)\) 左右。
看一眼讨论版： 高精度，掏出之前写过的高精板子。
直接写好提交。
#include <bits/stdc++.h>
#define debug puts("I ak IOI several times");
#define pb push_back
using namespace std;
template <typename T>inline void read(T& t){
t=0; register char ch=getchar(); register int fflag=1;
while(!('0'<=ch&&ch<='9')){if(ch=='-') fflag=-1;ch=getchar();}
while(('0'<=ch&&ch<='9')){t=((t<<1)+(t<<3))+ch-'0'; ch=getchar();} t*=fflag;
}
template <typename T,typename... Args> inline void read(T& t, Args&... args){
read(t);read(args...);
}
template <typename T>inline void write(T x){
if(x<0) putchar('-'),x=~(x-1); int s[40],top=0;
while(x) s[++top]=x%10,x/=10; if(!top) s[++top]=0;
while(top) putchar(s[top--]+'0');
}
struct GJ{
static const int M=20087;
int num[M+10],len;
bool __fu;
GJ(){clean();}
void clean(){
memset(num,0,sizeof(num));
len=1;
__fu=0;
}
void Read(){
char str[M+10];
scanf("%s",str);
len=strlen(str);
if(str[0]=='-'){
__fu=1;
for(register int i=1;i<len;++i)
num[i]=str[len-i]-'0';
len--;
}else{
for(register int i=1;i<=len;++i)
num[i]=str[len-i]-'0';
}
}
void Write(bool IakIOI){
if(__fu) putchar('-');
for(register int i=len;i>=1;--i)
putchar(num[i]+'0');
if(IakIOI) puts("");
else /*您输出了空气。*/;
}
template <typename T>inline void itoBig(T x){
clean();
while(x!=0){
num[len++]=x%10;
x/=10;
}
if(len!=1)len--;
}
template <typename T>inline GJ turnGJ(T x){
GJ ___gj;
if(x<0){
x=abs(x);
___gj.__fu=1;
}
while(x!=0){
___gj.num[___gj.len++]=x%10;
x/=10;
}
if(___gj.len!=1)___gj.len--;
return ___gj;
}
bool operator < (const GJ &cmp)const{
if(len!=cmp.len) return len<cmp.len;
for(int i=len;i>=1;--i)
if(num[i]!=cmp.num[i]) return num[i]<cmp.num[i];
return false;
}
bool operator > (const GJ &cmp)const{return cmp<*this;}
bool operator <= (const GJ &cmp)const{return !(cmp<*this);}
bool operator != (const GJ &cmp)const{return cmp<*this||*this<cmp;}
bool operator == (const GJ &cmp)const{return !(cmp<*this||*this<cmp);}
GJ operator + (const GJ &A)const{
if(A.__fu&&__fu){
auto _____tmp=*this,____tmp=A;
_____tmp.__fu=0;____tmp.__fu=0;
auto ___S=_____tmp+____tmp;
___S.__fu=1;
return ___S;
}
if(A.__fu){
auto ____tmp=A;
____tmp.__fu=0;
auto ___S=*this-____tmp;
return ___S;
}
if(__fu){
auto ___tmp=*this;
___tmp.__fu=0;
auto ___S=A-___tmp;
return ___S;
}
GJ S;
S.len=max(len, A.len);
for(int i=1;i<=S.len;++i){
S.num[i]+=num[i]+A.num[i];
if(S.num[i]>=10){
S.num[i]-=10;
S.num[i+1]++;
}
}
while(S.num[S.len+1])S.len++;
return S;
}
GJ operator - (const GJ &A)const{
if(A.__fu&&__fu){
auto _S=A;
_S.__fu=0;
auto __S=*this+_S;
return __S;
}
if(A.__fu){
auto _S=A;
_S.__fu=0;
auto __S=*this+_S;
return __S;
}
if(__fu){
GJ _tmpp,_tmppp;
_tmpp=*this;
_tmpp.__fu=0;
_tmppp=A;
_tmppp.__fu=0;
auto SSS=_tmpp+_tmppp;
SSS.__fu=1;
return SSS;
}
if(*this<A){
putchar('-');
auto S=A-*this;
return S;
}
GJ S;
S.len=max(len,A.len);
for(int i=1;i<=S.len;++i){
S.num[i]+=num[i]-A.num[i];
if(S.num[i]<0){
S.num[i]+=10;
S.num[i+1]--;
}
}
while(!S.num[S.len]&&S.len>1)S.len--;
return S;
}
GJ operator * (const GJ &A)const{
GJ S;
if((A.__fu xor __fu)) S.__fu=1;
if((A.len==1&&A.num[1]==0)||(len==1&&num[1]==0)) return S;
S.len=A.len+len-1;
for(int i=1;i<=len;++i)
for(int j=1;j<=A.len;++j){
S.num[i+j-1]+=num[i]*A.num[j];
S.num[i+j]+=S.num[i+j-1]/10;
S.num[i+j-1]%=10;
}
while(S.num[S.len+1])S.len++;
return S;
}
GJ operator / (const GJ &A)const{
GJ S;
if((A.__fu xor __fu)) S.__fu=1;
if((A.len==1&&A.num[1]==0)||(len==1&&num[1]==0))return S;
GJ R,N;
S.len=0;
for(int i=len;i>=1;--i){
N.itoBig(10);
R=R*N;
N.itoBig(num[i]);
R=R+N;
int flag=-1;
for(register int j=1;j<=10;++j){
N.itoBig(j);
if(N*A>R){
flag=j-1;
break;
}
}
S.num[++S.len]=flag;
N.itoBig(flag);
R=R-N*A;
}
for(register int i=1;i<=len/2;++i)swap(S.num[i],S.num[len-i+1]);
while(!S.num[S.len]&&S.len>1)S.len--;
return S;
}
GJ operator % (const GJ &A)const{
GJ S;
GJ P=*this/A;
S=*this-P*A;
return S;
}
void operator = (const GJ &A){
for(register int i=1;i<=A.len;++i)
num[i]=A.num[i];
len=A.len;
__fu=A.__fu;
}
};
const int MAXN=50005;
int n;
GJ ans;
int prime[MAXN],cnt;
bitset<MAXN>b;
void ss(int K){
b[1]=b[0]=1;
for(register int i=1;i*i<=K;++i)
if(!b[i]) for(register int j=2;j*i<=K;++j) b[i*j]=1;
for(register int i=1;i<=K;++i) if(!b[i]) prime[++cnt]=i;
return;
}
GJ quick_power(GJ x,int k){
if(k==1) return x;
if(!k) return ans.turnGJ(1);
GJ f=quick_power(x,k/2);
if(k&1) return f*f*x;
else return f*f;
}
void print(){
for(int i=1;i<=100;++i) cout<<prime[i]<<' ';
cout<<endl;
}
void dfs(int x,GJ tmp,int dep){
// cout<<x<<' ';
// tmp.Write(1);
if(x==1){
if(ans==ans.turnGJ(0)) ans=tmp;
else if(tmp<ans) ans=tmp;
return;
}
if(tmp>ans&&ans!=ans.turnGJ(0)) return;
for(register int i=2;i<=x;++i)
if(x%i==0) dfs(x/i,tmp*quick_power(ans.turnGJ(prime[dep]),i-1),dep+1);
}
int main(){
ss(MAXN);
cin>>n;
dfs(n,ans.turnGJ(1),1);
ans.Write(1);
return 0;
}
//Welcome back,Chtholly.
看一眼讨论 ：注意 90 分的不是正解，我就看了一下，跟我的思路不一样。那怎么办呢。这时候是真想不到怎么做了，只好 窃取数据
input:50000
output:2749929944932170000
原来是炸在最大值了，我又预处理了一下因数，常数暴力卡，还是只有 90 分， 直接特判50000
实在想不到怎么优化了，又看了一眼题解。
原来是用对数优化，刚好最近 whk 学了对数。
有几个性质：
\(\log(x y)=\log(x)+\log(y)\)
\(\log(x^y)=y\log(x)\)
那我就不需要在每次比较 ans 与 tmp 大小的时候都用高精比较了，而且也不用每一次都把答案算出来了。 只需要在结束的时候用快速幂弄弄就 ok 了。
因为 c++ 算 \(\log\) 比较慢，所以预处理在数组里。
我现在只需要开一个 struct 里面就存好在 \(N = \prod\limits p_i^{k_i}\) 里的每一个 \(p_i\) 和 \(k_i\) 就ok了，然后把这个东西作为参数传。
比较大小的时候用 \(\log\) 的特性比较，最后的 ans 用快速幂就解决了。
比较了一下，优化还是非常明显的 700ms -> 20ms
#include <bits/stdc++.h>
#define debug puts("I ak IOI several times");
#define pb push_back
using namespace std;
template <typename T>inline void read(T& t){
t=0; register char ch=getchar(); register int fflag=1;
while(!('0'<=ch&&ch<='9')){if(ch=='-') fflag=-1;ch=getchar();}
while(('0'<=ch&&ch<='9')){t=((t<<1)+(t<<3))+ch-'0'; ch=getchar();} t*=fflag;
}
template <typename T,typename... Args> inline void read(T& t, Args&... args){
read(t);read(args...);
}
template <typename T>inline void write(T x){
if(x<0) putchar('-'),x=~(x-1); int s[40],top=0;
while(x) s[++top]=x%10,x/=10; if(!top) s[++top]=0;
while(top) putchar(s[top--]+'0');
}
struct GJ{
static const int M=20000;
int num[M+10],len;
bool __fu;
GJ(){clean();}
void clean(){
memset(num,0,sizeof(num));
len=1;
__fu=0;
}
void Read(){
char str[M+10];
scanf("%s",str);
len=strlen(str);
if(str[0]=='-'){
__fu=1;
for(register int i=1;i<len;++i)
num[i]=str[len-i]-'0';
len--;
}else{
for(register int i=1;i<=len;++i)
num[i]=str[len-i]-'0';
}
}
void Write(bool IakIOI){
if(__fu) putchar('-');
for(register int i=len;i>=1;--i)
putchar(num[i]+'0');
if(IakIOI) puts("");
else /*您输出了空气。*/;
}
template <typename T>inline void itoBig(T x){
clean();
while(x!=0){
num[len++]=x%10;
x/=10;
}
if(len!=1)len--;
}
template <typename T>inline GJ turnGJ(T x){
GJ ___gj;
if(x<0){
x=abs(x);
___gj.__fu=1;
}
while(x!=0){
___gj.num[___gj.len++]=x%10;
x/=10;
}
if(___gj.len!=1)___gj.len--;
return ___gj;
}
bool operator < (const GJ &cmp)const{
if(len!=cmp.len) return len<cmp.len;
for(int i=len;i>=1;--i)
if(num[i]!=cmp.num[i]) return num[i]<cmp.num[i];
return false;
}
bool operator > (const GJ &cmp)const{return cmp<*this;}
bool operator <= (const GJ &cmp)const{return !(cmp<*this);}
bool operator != (const GJ &cmp)const{return cmp<*this||*this<cmp;}
bool operator == (const GJ &cmp)const{return !(cmp<*this||*this<cmp);}
GJ operator + (const GJ &A)const{
if(A.__fu&&__fu){
auto _____tmp=*this,____tmp=A;
_____tmp.__fu=0;____tmp.__fu=0;
auto ___S=_____tmp+____tmp;
___S.__fu=1;
return ___S;
}
if(A.__fu){
auto ____tmp=A;
____tmp.__fu=0;
auto ___S=*this-____tmp;
return ___S;
}
if(__fu){
auto ___tmp=*this;
___tmp.__fu=0;
auto ___S=A-___tmp;
return ___S;
}
GJ S;
S.len=max(len, A.len);
for(int i=1;i<=S.len;++i){
S.num[i]+=num[i]+A.num[i];
if(S.num[i]>=10){
S.num[i]-=10;
S.num[i+1]++;
}
}
while(S.num[S.len+1])S.len++;
return S;
}
GJ operator - (const GJ &A)const{
if(A.__fu&&__fu){
auto _S=A;
_S.__fu=0;
auto __S=*this+_S;
return __S;
}
if(A.__fu){
auto _S=A;
_S.__fu=0;
auto __S=*this+_S;
return __S;
}
if(__fu){
GJ _tmpp,_tmppp;
_tmpp=*this;
_tmpp.__fu=0;
_tmppp=A;
_tmppp.__fu=0;
auto SSS=_tmpp+_tmppp;
SSS.__fu=1;
return SSS;
}
if(*this<A){
putchar('-');
auto S=A-*this;
return S;
}
GJ S;
S.len=max(len,A.len);
for(int i=1;i<=S.len;++i){
S.num[i]+=num[i]-A.num[i];
if(S.num[i]<0){
S.num[i]+=10;
S.num[i+1]--;
}
}
while(!S.num[S.len]&&S.len>1)S.len--;
return S;
}
GJ operator * (const GJ &A)const{
GJ S;
if((A.__fu xor __fu)) S.__fu=1;
if((A.len==1&&A.num[1]==0)||(len==1&&num[1]==0)) return S;
S.len=A.len+len-1;
for(int i=1;i<=len;++i)
for(int j=1;j<=A.len;++j){
S.num[i+j-1]+=num[i]*A.num[j];
S.num[i+j]+=S.num[i+j-1]/10;
S.num[i+j-1]%=10;
}
while(S.num[S.len+1])S.len++;
return S;
}
GJ operator / (const GJ &A)const{
GJ S;
if((A.__fu xor __fu)) S.__fu=1;
if((A.len==1&&A.num[1]==0)||(len==1&&num[1]==0))return S;
GJ R,N;
S.len=0;
for(int i=len;i>=1;--i){
N.itoBig(10);
R=R*N;
N.itoBig(num[i]);
R=R+N;
int flag=-1;
for(register int j=1;j<=10;++j){
N.itoBig(j);
if(N*A>R){
flag=j-1;
break;
}
}
S.num[++S.len]=flag;
N.itoBig(flag);
R=R-N*A;
}
for(register int i=1;i<=len/2;++i)swap(S.num[i],S.num[len-i+1]);
while(!S.num[S.len]&&S.len>1)S.len--;
return S;
}
GJ qpow (const GJ &A,int buff) const{
if(buff==1) return A;
GJ f=qpow(A,buff/2);
if(buff&1) return f*f*A;
else return f*f;
}
GJ operator % (const GJ &A)const{
GJ S;
GJ P=*this/A;
S=*this-P*A;
return S;
}
void operator = (const GJ &A){
for(register int i=1;i<=A.len;++i)
num[i]=A.num[i];
len=A.len;
__fu=A.__fu;
}
};
const int MAXN=600;
int n;
int prime[MAXN],cnt;
bitset<MAXN>b;
double lg[800];
const int MAXM=50000;
vector<int>s[MAXM+5];
const int siz=32;
struct Info{
int buf[siz+5];
bool operator < (const Info & info)const{
double a,b;a=b=0;
for(int i=1;i<=siz;++i) a+=buf[i]*lg[prime[i]],b+=info.buf[i]*lg[prime[i]];
// cout<<a<<' '<<b<<endl;
return a<b;
}
void add(int x,int S){
buf[x]+=S; return;
}
void print(){
for(int i=1;i<=siz;++i) cout<<buf[i]<<' ';
cout<<endl;
}
}fst;
void ss(int K){
b[1]=b[0]=1;
for(register int i=1;i*i<=K;++i)
if(!b[i]) for(register int j=2;j*i<=K;++j) b[i*j]=1;
for(register int i=1;i<=K;++i) if(!b[i]) prime[++cnt]=i;
for(int i=1;i<=cnt;++i) lg[prime[i]]=log(prime[i]);
return;
}
Info ans;
GJ ANS;
inline void dfs(int x,Info tmp,int dep){
/* cout<<x<<' '<<dep<<' '<<":::::";
tmp.print();*/
if(ans<tmp) return;
if(x==1){
if(tmp<ans) ans=tmp;
return;
}
for(int i=0;i<s[x].size();++i){
tmp.add(dep,s[x][i]-1);
dfs(x/s[x][i],tmp,dep+1);
tmp.add(dep,-(s[x][i]-1));
}
}
int main(){
for(int i=1;i<=siz;++i) ans.buf[i]=10000,fst.buf[i]=0;
for(int i=1;i<=MAXM;++i){
for(int j=2;j*j<=i;++j){
if(i%j==0){
if(j*j==i) s[i].push_back(j);
else{
s[i].push_back(j);
s[i].push_back(i/j);
}
}
}
s[i].push_back(i);
}
ss(MAXN);
cin>>n;
dfs(n,fst,1);
ANS=ANS.turnGJ(1);
for(int i=1;i<=siz;++i){
if(!ans.buf[i]) break;
ANS=ANS*ANS.qpow(ANS.turnGJ(prime[i]),ans.buf[i]);
}
ANS.Write(1);
return 0;
}
//Welcome back,Chtholly.
