Round #2
题源：来自hzwer整理的题
2014-5-10 NOIP模拟赛
by coolyangzc
Problem 1 机器人(robot.cpp/c/pas)
【题目描述】
早苗入手了最新的Gundam模型。最新款自然有着与以往不同的功能，那就是它能够自动行走，厉害吧。
早苗的新模型可以按照输入的命令进行移动，命令包括‘E’、‘S’、‘W’、‘N’四种，分别对应东南西北。执行某个命令时，它会向对应方向移动一个单位。作为新型机器人，它可以执行命令串。对于输入的命令串，每一秒它会按命令行动一次。执行完命令串的最后一个命令后，会自动从头开始循环。在0时刻时机器人位于（0,0）。求T秒后机器人所在位置坐标。
【输入格式】
第1行：一个字符串，表示早苗输入的命令串，保证至少有1个命令
第2行：一个正整数T
【输出格式】
2个整数，表示T秒时，机器人的坐标。
【样例输入】
NSWWNSNEEWN
12
【样例输出】
-1 3
【数据范围】
对于60%的数据 T<=500,000 且命令串长度<=5,000
对于100%的数据 T<=2,000,000,000 且命令串长度<=5,000
【注意】
向东移动，坐标改变改变为(X+1,Y);
向南移动，坐标改变改变为(X,Y-1);
向西移动，坐标改变改变为(X-1,Y);
向北移动，坐标改变改变为(X,Y+1);
简单模拟题，按照题意从原点(0,0)开始跑一遍命令串cmd，得出cmd[i]时相对于原点的位置，先T-=1再令x=T/|cmd|,y=T%|cmd|，得出机器人沿着命令串cmd跑了x轮，当前停留在命令串y的位置，即可算出答案x*cmd[|cmd|-1]+cmd[y]；
#include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<sstream> #include<fstream> #include<vector> #include<list> #include<deque> #include<stack> #include<queue> #include<map> #include<set> #include<cmath> #include<utility> #include<numeric> #include<iterator> #include<algorithm> #include<functional> #include<ctime> #include<cassert> using std::cin; using std::cout; using std::endl; typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef std::pair<int,int> P; #define FOR(i,init,len) for(int i=(init);i<(len);++i) #define For(i,init,len) for(int i=(init);i<=(len);++i) #define fi first #define se second #define pb push_back #define is insert namespace IO { inline char getchar() { static const int BUFSIZE=5201314; static char buf[BUFSIZE],*begin,*end; if(begin==end) { begin=buf; end=buf+fread(buf,1,BUFSIZE,stdin); if(begin==end) return -1; } return *begin++; } } inline void read(int &in) { int c,symbol=1; while(isspace(c=IO::getchar())); if(c=='-') { in=0;symbol=-1; } else in=c-'0'; while(isdigit(c=IO::getchar())) { in*=10;in+=c-'0'; } in*=symbol; } inline int read() { static int x;read(x);return x; } ll gcd(ll a,ll b) { return b?gcd(b,a%b):a; } ll lcm(ll a,ll b) { return a/gcd(a,b)*b; } #define PA(name,init,len) cout<<#name"["<<(len-init)<<"]=";FOR(_,init,len) cout<<name[_]<<" \n"[_==(len-1)]; #define Pa(name,init,len) cout<<#name"["<<(len-init+1)<<"]=";For(_,init,len) cout<<name[_]<<" \n"[_==(len)]; #define PV(name) cout<<#name"="<<name<<'\n'; const int dx[]={1,0,-1,0}; const int dy[]={0,1,0,-1}; int c[255]; std::vector<P> v; std::string s; int T; int main() { #ifdef MengLan int Beginning=clock(); //freopen("in","r",stdin); //freopen("out","w",stdout); #endif // MengLan cin>>s>>T; P now(0,0); c['E']=0;c['N']=1;c['W']=2;c['S']=3; for(auto ch:s){ int dir=c[ch]; now=P(now.fi+dx[dir],now.se+dy[dir]); v.pb(now); } --T; int x=T/s.size(),y=T%s.size(); //PV(x)PV(y) printf("%d %d\n",v.back().fi*x+v[y].fi,v.back().se*x+v[y].se); #ifdef MengLan printf("Time: %d\n",clock()-Beginning); system("pause"); #endif // MengLan return 0; }
Problem 2 数列(seq.cpp/c/pas)
【题目描述】
a[1]=a[2]=a[3]=1
a[x]=a[x-3]+a[x-1] (x>3)
求a数列的第n项对1000000007（10^9+7）取余的值。
【输入格式】
第一行一个整数T，表示询问个数。
以下T行，每行一个正整数n。
【输出格式】
每行输出一个非负整数表示答案。
【样例输入】
3
6
8
10
【样例输出】
4
9
19
【数据范围】
对于30%的数据 n<=100；
对于60%的数据 n<=2*10^7；
对于100%的数据 T<=100，n<=2*10^9；
众所周知，求fib(斐波那契数列)第n项f[n]%mod可以通过矩阵快速幂求得，而且本题和fib一样都属于线性递推，那么只需要构造一个矩阵A，使得
| f(x) | a1 | b1 | c1 | f(x-1) | ||
| f(x-1) | = | a2 | b2 | c2 | * | f(x-2) |
| f(x-2) | a3 | b3 | c3 | f(x-3) |
则可以通过矩阵左乘一次A，从f(x)推出下一项f(x+1)，已知前三项均为1，则可以通过左乘A^(n-3)推出f(n)；
那么依据矩阵乘法：
f(x)=a1*f(x-1)+b1*f(x-2)+c1*f(x-3)
f(x-1)=a2*f(x-1)+b2*f(x-2)+c2*f(x-3)
f(x-2)=a3*f(x-1)+b3*f(x-2)+c3*f(x-3)
由于本题f(x)=f(x-1)+f(x-3)
那么显然系数为：
a1=1,b1=0,c1=1；
a2=1,b2=0,c2=0;
a3=0,b3=1,c3=0;
那么直接通过矩阵快速幂算得A^(n-3)即可解决；
由于本人比较懒，代码直接使用3*3矩阵进行运算；
#include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<sstream> #include<fstream> #include<vector> #include<list> #include<deque> #include<stack> #include<queue> #include<map> #include<set> #include<cmath> #include<utility> #include<numeric> #include<iterator> #include<algorithm> #include<functional> #include<ctime> #include<cassert> using std::cin; using std::cout; using std::endl; typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef std::pair<int,int> P; #define FOR(i,init,len) for(int i=(init);i<(len);++i) #define For(i,init,len) for(int i=(init);i<=(len);++i) #define fi first #define se second #define pb push_back #define is insert namespace IO { inline char getchar() { static const int BUFSIZE=5201314; static char buf[BUFSIZE],*begin,*end; if(begin==end) { begin=buf; end=buf+fread(buf,1,BUFSIZE,stdin); if(begin==end) return -1; } return *begin++; } } inline void read(int &in) { int c,symbol=1; while(isspace(c=IO::getchar())); if(c=='-') { in=0;symbol=-1; } else in=c-'0'; while(isdigit(c=IO::getchar())) { in*=10;in+=c-'0'; } in*=symbol; } inline int read() { static int x;read(x);return x; } ll gcd(ll a,ll b) { return b?gcd(b,a%b):a; } ll lcm(ll a,ll b) { return a/gcd(a,b)*b; } #define PA(name,init,len) cout<<#name"["<<(len-init)<<"]=";FOR(_,init,len) cout<<name[_]<<" \n"[_==(len-1)]; #define Pa(name,init,len) cout<<#name"["<<(len-init+1)<<"]=";For(_,init,len) cout<<name[_]<<" \n"[_==(len)]; #define PV(name) cout<<#name"="<<name<<'\n'; const ll mod =1e9+7; struct Matrix{ ll d[3][3]; Matrix(){memset(d,0,sizeof(d));} Matrix operator*(const Matrix &rhs)const{ Matrix ret; for(int i=0;i<3;++i) for(int j=0;j<3;++j) {for(int k=0;k<3;++k) ret.d[i][j]+=d[i][k]*rhs.d[k][j]%mod;ret.d[i][j]%=mod;} return ret; } Matrix operator+(const Matrix &rhs)const{ Matrix ret; FOR(i,0,3) FOR(j,0,3){ ret.d[i][j]=d[i][j]+rhs.d[i][j]; if(ret.d[i][j]>mod) ret.d[i][j]-=mod; } return ret; } void print(){ FOR(i,0,3) FOR(j,0,3) printf("%lld%c",d[i][j],j==2?'\n':' '); } }; Matrix qpow(int n){ Matrix a,ret; a.d[0][0]=a.d[0][2]=a.d[1][0]=a.d[2][1]=1; ret.d[0][0]=ret.d[1][0]=ret.d[2][0]=1; while(n){ if(n&1) ret=a*ret; n>>=1; a=a*a; } return ret; } int main() { #ifdef MengLan int Beginning=clock(); //freopen("in","r",stdin); //freopen("out","w",stdout); #endif // MengLan int T;scanf("%d",&T); while(T--){ int n;scanf("%d",&n); if(n<=3) puts("1"); else{ auto ans=qpow(n-3); printf("%lld\n",(ans.d[0][0]%mod+mod)%mod); } } #ifdef MengLan printf("Time: %d\n",clock()-Beginning); system("pause"); #endif // MengLan return 0; }
Problem 3 虫洞(holes.cpp/c/pas)
【题目描述】
N个虫洞，M条单向跃迁路径。从一个虫洞沿跃迁路径到另一个虫洞需要消耗一定量的燃料和1单位时间。虫洞有白洞和黑洞之分。设一条跃迁路径两端的虫洞质量差为delta。
1.从白洞跃迁到黑洞，消耗的燃料值减少delta，若该条路径消耗的燃料值变为负数的话，取为0。
2.从黑洞跃迁到白洞，消耗的燃料值增加delta。
3.路径两端均为黑洞或白洞，消耗的燃料值不变化。
作为压轴题，自然不会是如此简单的最短路问题，所以每过1单位时间黑洞变为白洞，白洞变为黑洞。在飞行过程中，可以选择在一个虫洞停留1个单位时间，如果当前为白洞，则不消耗燃料，否则消耗s[i]的燃料。现在请你求出从虫洞1到N最少的燃料消耗，保证一定存在1到N的路线。
【输入格式】
第1行：2个正整数N,M
第2行：N个整数，第i个为0表示虫洞i开始时为白洞，1表示黑洞。
第3行：N个整数，第i个数表示虫洞i的质量w[i]。
第4行：N个整数，第i个数表示在虫洞i停留消耗的燃料s[i]。
第5..M+4行：每行3个整数，u,v,k，表示在没有影响的情况下，从虫洞u到虫洞v需要消耗燃料k。
【输出格式】
一个整数，表示最少的燃料消耗。
【样例输入】
4 5
1 0 1 0
10 10 100 10
5 20 15 10
1 2 30
2 3 40
1 3 20
1 4 200
3 4 200
【样例输出】
130
【数据范围】
对于30%的数据： 1<=N<=100,1<=M<=500
对于60%的数据： 1<=N<=1000,1<=M<=5000
对于100%的数据： 1<=N<=5000，1<=M<=30000
其中20%的数据为1<=N<=3000的链
1<=u,v<=N, 1<=k,w[i],s[i]<=200
【样例说明】
按照1->3->4的路线。
既然题目都说了这是一道最短路问题，那么这就是一道最短路问题了（雾），再加上边权值>=0，那么理论上用dijkstra的优先度是比SPFA高的；
那么问题只在于怎么建边了；
首先，虫洞分黑洞白洞，并且在这两种状态中转换，那么如何去区分黑洞白洞呢？
拆点吧，把一个虫洞在黑洞和白洞的时候分别用一个点表示，本人习惯用i和i+n，还有一种常见的是i*2和i*2+1，可以使用位运算i<<1和i<<1|1表示；
以下使用点i和i+n表示同一个虫洞的两种状态；
题目有个要求，每隔1单位时间，虫洞将从黑洞变成白洞或从白洞变成黑洞；
那么对于两种操作：
1.从任意一个虫洞到另一个虫洞，需要1单位时间，假设A是白洞，B是黑洞，从A->B，则抵达时B应该为白洞状态，那么假设i是A白洞状态的点，i+n是A黑洞状态时的点，j是B黑洞状态时的点，j+n是B白洞状态时的点，那么将建边i->j+n，费用为C1和i+n->j，费用为C2；
2.可以在一个虫洞停留1单位时间，那么就是在虫洞在黑洞和白洞状态各向对方连一条单向边，假设虫洞的两个点分别为i和i+n，那么将建边i->i+n，费用为C1,i+n->i，费用为C2；
以上费用C按题意要求计算；
对于i和i+n与黑洞和白洞对应的方式有两种，
第一种将i与题目输入的白洞黑洞对应，那么i+n就为另一种，这样的好处是对于题目输入的边u->v，建边肯定是u->v+n和u+n->v，关键在于费用C的计算；
第二种将i直接与白洞对应，i+n直接与黑洞对应，那么这样需要判断输入的边u->v中u,v的状态是否相同，好处是相同的话，费用肯定都是k，不相同的话，一个费用是k-Δ，另一个是k+Δ；
本题贴两份代码，第一份是我的，拆点方式为i和i+n，对应方式为按输入对应(第一种)，最短路用dijkstra
#include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<sstream> #include<fstream> #include<vector> #include<list> #include<deque> #include<stack> #include<queue> #include<map> #include<set> #include<cmath> #include<utility> #include<numeric> #include<iterator> #include<algorithm> #include<functional> #include<ctime> #include<cassert> using std::cin; using std::cout; using std::endl; typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef std::pair<int,int> P; #define FOR(i,init,len) for(int i=(init);i<(len);++i) #define For(i,init,len) for(int i=(init);i<=(len);++i) #define fi first #define se second #define pb push_back #define is insert namespace IO { inline char getchar() { static const int BUFSIZE=5201314; static char buf[BUFSIZE],*begin,*end; if(begin==end) { begin=buf; end=buf+fread(buf,1,BUFSIZE,stdin); if(begin==end) return -1; } return *begin++; } } inline void read(int &in) { int c,symbol=1; while(isspace(c=IO::getchar())); if(c=='-') { in=0;symbol=-1; } else in=c-'0'; while(isdigit(c=IO::getchar())) { in*=10;in+=c-'0'; } in*=symbol; } inline int read() { static int x;read(x);return x; } ll gcd(ll a,ll b) { return b?gcd(b,a%b):a; } ll lcm(ll a,ll b) { return a/gcd(a,b)*b; } #define PA(name,init,len) cout<<#name"["<<(len-init)<<"]=";FOR(_,init,len) cout<<name[_]<<" \n"[_==(len-1)]; #define Pa(name,init,len) cout<<#name"["<<(len-init+1)<<"]=";For(_,init,len) cout<<name[_]<<" \n"[_==(len)]; #define PV(name) cout<<#name"="<<name<<'\n'; struct Edge{ int to,cost; Edge(int to=0,int cost=0):to(to),cost(cost){} }; const int maxn=6e4+10; std::vector<Edge> G[maxn]; int n,m; int col[maxn],w[maxn],s[maxn]; struct Lan{ int u,cost; Lan(int u=0,int cost=0):u(u),cost(cost){} bool operator<(const Lan &rhs)const{return cost>rhs.cost;} }; const int INF=1e9; bool vis[maxn]; int d[maxn]; int dijkstra(){ std::priority_queue<Lan> q; q.push(Lan(1,0)); For(i,1,n+n) d[i]=INF;d[1]=0; while(!q.empty()){ auto x=q.top();q.pop(); //printf("u:%d cost:%d\n",x.u,x.cost); if(x.u==n||x.u==n+n) return x.cost; if(vis[x.u]) continue; vis[x.u]=true; for(auto &y:G[x.u]) if(d[y.to]>d[x.u]+y.cost){ d[y.to]=d[x.u]+y.cost; q.push(Lan(y.to,d[y.to])); } } return -1; } int main() { #ifdef MengLan int Beginning=clock(); //freopen("in","r",stdin); //freopen("out","w",stdout); #endif // MengLan scanf("%d%d",&n,&m); For(i,1,n) scanf("%d",col+i),col[i+n]=!col[i]; For(i,1,n) scanf("%d",w+i),w[i+n]=w[i]; For(i,1,n) scanf("%d",s+i); For(i,1,n) { if(col[i]) G[i].pb(Edge(i+n,s[i])),G[i+n].pb(Edge(i,0)); else G[i].pb(Edge(i+n,0)),G[i+n].pb(Edge(i,s[i])); } For(i,1,m){ int u,v,k;scanf("%d%d%d",&u,&v,&k); int k1=k,k2=k; if(!col[u]&&col[v]) k1=k-std::abs(w[u]-w[v]),k2=k+std::abs(w[u]-w[v]); if(col[u]&&!col[v]) k1=k+std::abs(w[u]-w[v]),k2=k-std::abs(w[u]-w[v]); if(k1<0) k1=0; if(k2<0) k2=0; G[u].pb(Edge(v+n,k1)); G[u+n].pb(Edge(v,k2)); } //For(i,1,n+n) for(auto &y:G[i]) printf("u:%d v:%d c:%d\n",i,y.to,y.cost); printf("%d\n",dijkstra()); #ifdef MengLan printf("Time: %d\n",clock()-Beginning); system("pause"); #endif // MengLan return 0; }
第二份代码为标程，拆点方式为i*2-1和i*2，对应方式为第二种，最短路算法用SPFA
#include<cstdio> #include<cstring> #define rep(i,n) for(int i=1;i<=n;i++) #define abs(x) (x > 0 ? x : -(x)) const int maxn=10010,maxm=70010,maxq=16383; int n,m,u,v,k,sz,l,r,x,delta, p[maxn],w[maxn],d[maxn],q[maxq+1],en[maxn],pre[maxm],g[maxm],len[maxm]; bool Inq[maxn]; inline void Ins(int u,int v,int d) { pre[++sz]=en[u];en[u]=sz;g[sz]=v;len[sz]=d; } void Init_And_Set_Map() { scanf("%d%d",&n,&m); rep(i,n) scanf("%d",&p[i]); rep(i,n) scanf("%d",&w[i]); rep(i,n) { scanf("%d",&k); Ins(i+i-1,i+i,0); Ins(i+i,i+i-1,k); } rep(i,m) { scanf("%d%d%d",&u,&v,&k); if (p[u]==p[v]) { Ins(u+u-1,v+v,k); Ins(u+u,v+v-1,k); } else { delta=abs(w[u]-w[v]); Ins(u+u-1,v+v-1, (k-delta>0 ? k-delta : 0)); Ins(u+u,v+v, k+delta); } } } void SPFA() { memset(d,0x7F,sizeof(d)); q[0]=p[1]+1;d[q[0]]=l=r=0; while ((r+1&maxq) != l) { x=q[l];l=(l+1)&maxq;Inq[x]=0; for(int i=en[x];i;i=pre[i]) { v=g[i]; if (d[x]+len[i]<d[v]) { d[v]=d[x]+len[i]; if (Inq[v]) continue; Inq[v]=1; if (d[v]<d[q[l]]) q[l=(l-1)&maxq]=v; else q[r=(r+1)&maxq]=v; } } } } int main() { freopen("holes.in","r",stdin); freopen("holes.out","w",stdout); Init_And_Set_Map(); SPFA(); printf("%d",d[n+n-1]<d[n+n] ? d[n+n-1] : d[n+n]); return 0; }
