第二周记

前言：

10.20

今天体测跑了一公里，拿下了三分三十的成绩，有时感觉自己当时走体育会不会比现在混得好（）

下午心理课颓废整场，其实越学就越想学（至少对于我是这样），主要我现在真不知道怎么学，没有老师带领，做题像大海捞针，做题也不发答案，也不知道是我的问题还是学校的问题，~~tnd高中也是被折磨成斯德哥尔摩了~~。

听说导员当年四级裸考过线（高考英语118），感觉又有点放松了，但是心里还是毛毛的。

~~不会高数。不会高数。不会高数。不会高数。不会高数。不会高数。不会高数。~~

晚上终于更新了“快速平方根取倒数算法”。还是很震撼的，这个算法刷新了我对“卡常”的认知：之前总是把常数优化和算法优化区别来看，觉得“卡常”是相当不优雅的行为，实际上充分调用“计算机”的所有资源本身就是一种艺术，内核级的优化绝对不是几个常规操作就能解决的。

再说一点：虽然上文为“卡常”“正名”，但是在高级语言中不要老是觉得“卡常”有多万能，别想着直接加个循环展开就能 \(n^2\) 过百万，写编译器的一定比你更懂优化。

有用的“卡常”也就是快读快输，递归改迭代，数组模拟这些吧，当然还有指令集之后可能会学一下？比如这位大佬就很厉害。

淦，键盘没电了，睡觉睡觉。

10.21

晚上的自习取消了，挺好的，但是好困。

那个科创项目也不知道怎么整，周三就交了。

接下来几天也许会复习一些数论吧，~~说是复习实则预习~~。

前两天 \(cyl\) 总是问一些很简单数位 \(DP\) 的题目，一开始我只想着用板子混过去，还想着他们学校怎么会给初学者安排这种题，结果 \(AI\) 给出了空间复杂度为 \(\Theta(1)\) 的方法，让我明白我又一次囿于原来只学算法那一套了，数位 \(DP\) 与其说是一种算法不如说是一种思想，实现它的方式多种多样，何必困于记搜那一套？因此这一次系统的学习一下数位 \(DP\) 。

10.22

下午休息，买的零食回来了，开心！！！

10.23

计算机课真的很水，为什么我没有前两名手速快，为社么我要纠结于入门题的手速，为什么他俩要卷手速，为什么换个键盘我就打不快......少年望眼欲穿终不可得，郁郁而不得的，原来不过“人先”二字......

无能之辈啊，无为亦是无畏。

加加油，给给力啊！！！

10.24

作业很多md

今天晚上休息呢，总算是搞好了立项，\(PSO\) 这种算法应该算相当合适了，这种鸡毛蒜皮的小事可真多，最后还是个 \(5min\) 线上答辩，真无聊，也没学着啥真东西。

明天一定要把工数群里的 \(PPT\) 好好地看一遍，我发誓明天要把极限的笔记补全了！！！

今晚的任务：洗澡，换洗衣服，换床单，收拾床铺，把 \(C\) 题补了，把异或算贡献补了，十点上床。

再说一遍：某个网站的排名没有任何效力！你最好别被任何错误的人影响。除去自己以外全为浮云而已。

10.25

八点半起床，爽~

学习笔记：

2025年广东工业大学程序设计竞赛月赛（同步赛）

新生赛还是很简单的，但是不习惯 \(ICPC\) 赛制，把被绊住的改一改。

Problem.J 最不上升也不下降序列

根据样例可以猜出构造方法，以 \(\sqrt{n}\) 为块长构造一系列分开的块，每个块中为连续的单调性相同的子串，这里主要是写一下证明：

定理：对于任意长度为 \(mn+1\) 的排列 \(p\)，要么必然存在一个长度为 \(m+1\) 的递增子序列，要么必然存在一个长度为 \(n+1\) 的递减子序列。

证明：设 \(f(i)\) 为以 \(p_i\) 结尾的 \(LIS\) 长度。

若 \(f(i)\ge m+1\) 则定理成立。
若 \(f(i)\le m\)，则 \(f(i)\) 的值只能为 \(1\) 到 \(m\) 的某一个整数，由于鸽巢原理，可知必然有一正整数 \(k\) 被 \(f(i)\) 至少取了 \(n+1\) 次。即 \(f(i_1)=f(i_2)=\cdots=f(i_n)=f(i_{n+1})=k\)，再由 \(f(i)\) 定义可知，\(p_1>p_2>\cdots>p_n\)，即排列中含有长度至少为 \(n+1\) 的 \(LDS\)。

不妨假设 \(f(i)\le m\)，设 \(f(i)\) 最大上界为 \(M（M\le m）\)，由上述定理进一步推导得：

\[LDS\times LIS=M\times\lceil\frac{mn+1}{M}\rceil\ge n \]

故而：

\[LDS+LIS\ge 2\sqrt{LDS\times LIS}\ge 2\sqrt{n} \]

然后即可模仿样例中的方法进行构造以取到 \(2\sqrt{n}\) 这个答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,bestK=1;
signed main(){
    if(!(cin>>n)) return 0;
    int bestVal=(int)1e18;
    for(int k=1;k*k<=n;++k){
        int val=k+(n+k-1)/k;
        if(val<bestVal){
            bestVal=val;
            bestK=k;
        }
        int k2=(n+k-1)/k;
        int val2=k2+(n+k2-1)/k2;
        if(val2<bestVal){
            bestVal=val2;
            bestK=k2;
        }
    }
    vector<int> perm;
    for(int i=1;i<=n;i+=bestK){
        int end=min(n,i+bestK-1);
        for(int x=end;x>=i;--x) perm.push_back((int)x);
    }
    for(size_t i=0;i<perm.size();++i){
        if(i) cout<<' ';
        cout<<perm[i];
    }
    return 0;
}

Problem.M 缩花

诈骗，第一任意选择根节点，再选择一个非叶子节点进行操作即可，至于操作数，我们发现每次操作至多让一个非叶子节点变成叶子节点，那么直接 \(\Theta(n)\) 统计非叶子节点即可，不贴代码了。

Problem.C 雪莉的预言

经典的带修改第 \(k\) 大，但是单次二分加数据结构显然不足以通过此题，因此我们只能从特殊性质入手寻求单次 \(\Theta(1)\) 复杂度。

Melting_Pot