【BZOJ1485】有趣的数列(HNOI2009)-卡特兰数+线性筛

测试地址:有趣的数列
做法:本题需要用到卡特兰数+线性筛。
按照题目中的要求,我们可以把相邻的两项看做一个数对,如果第i个数对表示第i个元素进队、出队的时刻,我们可以转化题目中的限制条件:
1.整个数列是一个排列:即一个时刻只能进行一个进队或出队操作。
2.所有奇数项和偶数项单调递增:即元素的进队顺序和出队顺序确定,且先进先出。
3.对于同个数对中的两项,奇数项小于偶数项:即进队时刻早于出队时刻。
而求满足这些限制条件的数列数,实际上就是求n个元素可能的进队、出队序列有多少种。我们知道答案就是卡特兰数,虽然卡特兰数描述n个元素可能的进栈、出栈的序列种数,但反正是一一对应的,所以答案就是卡特兰数,公式为1n+1C2nn
注意到模数可能不是质数,我们不能用求逆元的方法求出答案,注意到答案中涉及到的质因子都在2n以内,所以我们可以线性筛出所有的质因子,再算出每种质因子在答案中的幂数,最后再乘起来即可。时间复杂度为O(nlogn),实际上很难顶到这个上界。
具体实现的话,我们可以在线性筛时求出每个数最小的质因子(根据线性筛的性质,这个数第一次被筛的时候的那个质数就是它的最小质因子),这样就可以O(logn)地枚举一个数的所有质因子了。
我傻逼的地方:数组忘记开到2n的大小,RE了一次,下次要注意。
以下是本人代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll p,ans=1;
int n,totprime=0,prime[2000010],low[2000010],tot[2000010];
bool notprime[2000010]={0};

void calc_prime()
{
    notprime[1]=1;
    for(int i=2;i<=(n<<1);i++)
    {
        if (!notprime[i]) prime[++totprime]=low[i]=i;
        for(int j=1;j<=totprime&&i*prime[j]<=(n<<1);j++)
        {
            notprime[i*prime[j]]=1;
            low[i*prime[j]]=prime[j];
            if (i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

void solve(int x,int type)
{
    while(x!=1)
    {
        tot[low[x]]+=type;
        x/=low[x];
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%lld",&n,&p);

    calc_prime();
    for(int i=n+1;i<=(n<<1);i++) solve(i,1);
    for(int i=1;i<=n+1;i++) solve(i,-1);
    for(ll i=1;i<=(n<<1);i++)
    {
        while(tot[i])
        {
            ans=ans*i%p;
            tot[i]--;
        }
    }
    printf("%lld",ans);

    return 0; 
}
posted @ 2018-04-18 22:13  Maxwei_wzj  阅读(104)  评论(0编辑  收藏  举报