【BZOJ3129】方程（SDOI2013）-容斥原理+扩展Lucas定理

测试地址：方程
做法：本题需要用到容斥原理+扩展Lucas定理。
首先，如果没有任何限制，那么非负整数解的数量就是Cn−1m+n−1$C_{m+n-1}^{n-1}$，这个可以用隔板法求出，那么要求正整数解的话，其实只要转化成求∑(xi+1)=m$\sum (x_i+1)=m$的非负整数解数量即可，显然上面的方程可以转化为∑xi=m−n$\sum x_i=m-n$来求。
现在我们考虑限制，对于第二种限制，我们可以把xi$x_i$转化为xi+Ai−1$x_i+A_i-1$，就可以转化成求另一个方程的正整数解数。然而第一种限制就不好办了，这时候看到n1≤8$n_1\le 8$，想到容斥，即我们如果要求满足所有条件的方案数，我们可以用没有任何限制的方案数，减去强制某一个条件满足不了的方案数，加上强制某两个条件满足不了的方案数……显然如果一个限制满足不了，就会变成xi>a$x_i>a$的形式，这个就能很容易地化成第二种限制求解了。
那么最后一个问题，也是这道题最困难的一个点，就是求大组合数取模。我们知道如果p$p$为质数，可以用Lucas定理求出，但这里p$p$可能是合数，我们只能将其质因数分解为pt11×pt22×...×ptkk$p_1^{t_1}\times p_2^{t_2}\times ...\times p_k^{t_k}$这样的形式，然后分别求组合数对pt11,pt22,...,ptkk$p_1^{t_1},p_2^{t_2},...,p_k^{t_k}$取模的结果，然后用中国剩余定理或合并模线性方程的方法将最后的结果求出。
现在问题变成求组合数对pt$p^t$取模的结果，其中p$p$为质数。我们可以根据公式Cmn=n!m!(n−m)!$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$将问题转化为求n!$n!$对pt$p^t$取模的结果。我们把1×2×...×n$1\times 2\times ...\times n$拆成长度为p$p$的若干段，然后把所有p$p$的倍数提出来，显然这些东西乘起来等于p⌊np⌋×⌊np⌋!$p^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }\times \lfloor \frac{n}{p}\rfloor !$，对于⌊np⌋!$\lfloor \frac{n}{p}\rfloor !$递归求解，对于剩下的部分，我们可以把连续的pt−1$p^{t-1}$段看成一个周期，因为pt+1≡1(modpt)$p^t+1\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^t)$，那么我们可以先直接快速幂求出完整的⌊npt⌋$\lfloor \frac{n}{p^t}\rfloor$个周期的乘积，然后剩下的部分最多长为pt$p^t$，直接计算即可。这一个部分的时间复杂度应该是O(lognpt)$O(\log n{p}^t)$，如果预处理出缺项前缀积（就是把p$p$的倍数舍掉的阶乘）常数会小很多。
这里要使用欧拉定理：aφ(n)≡1(modn)$a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$来求出逆元，显然由欧拉函数的定义有φ(pt)=(p−1)pt−1$\phi (p^t)=(p-1)p^{t-1}$。特别地，如果结果中包含因子p$p$，那么我们无法直接求得逆元，所以我们在计算时要独立计算因子p$p$的幂数，仅对不含因子p$p$的部分求逆元即可。
BZOJ的题面中缺了一个比较重要的信息，数据范围中的p$p$是固定的一些数，这些数中最大的可分解出的pt$p^t$差不多在10000$10000$左右的水准，所以上述的O(2n1lognpt)$O(2^{n_1}\log n{p}^t)$的算法可以通过此题。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int T,n1,n2,totcnt=0;
ll n,m,a[20],p,fac[10],cnt[10],F[20010];

ll power(ll a,ll b,ll p)
{
    ll s=1,ss=a;
    while(b)
    {
        if (b&1) s=s*ss%p;
        ss=ss*ss%p,b>>=1;
    }
    return s;
}

ll exgcd(ll a,ll b)
{
    ll x0=1,y0=0,x1=0,y1=1;
    while(b)
    {
        ll q=a/b,tmp;
        tmp=x0,x0=x1,x1=tmp-q*x1;
        tmp=y0,y0=y1,y1=tmp-q*y1;
        tmp=a,a=b,b=tmp%b;
    }
    return x0;
}

ll calc(ll n,ll p,ll t,ll P,ll &s)
{
    s=0;
    if (n<=0) return 1;
    ll x=1;
    x=power(F[P],n/P,P);
    x=x*F[n%P]%P;
    x=x*calc(n/p,p,t,P,s)%P;
    s+=n/p;
    return x;
}

void init(ll p,ll P)
{
    F[0]=1;
    for(ll i=1;i<=P;i++)
    {
        if (i%p!=0) F[i]=F[i-1]*i%P;
        else F[i]=F[i-1];
    }
}

ll exlucas(ll n,ll m)
{
    if (m>n) return 0;
    ll lastr,lasta;
    for(int i=1;i<=totcnt;i++)
    {
        ll x,sumt=0,t;
        ll P=power(fac[i],cnt[i],p+1);
        init(fac[i],P);
        x=calc(n,fac[i],cnt[i],P,t);
        sumt+=t;
        x=x*power(calc(m,fac[i],cnt[i],P,t),P/fac[i]*(fac[i]-1)-1,P)%P;
        sumt-=t;
        x=x*power(calc(n-m,fac[i],cnt[i],P,t),P/fac[i]*(fac[i]-1)-1,P)%P;
        sumt-=t;
        x=x*power(fac[i],sumt,P)%P;

        if (i>1)
        {
            ll x0;
            x0=exgcd(lasta,P);
            x0=(x0*(x-lastr)%P+P)%P;
            lastr=(lastr+lasta*x0)%(lasta*P);
            lasta=lasta*P;
        }
        else lastr=x,lasta=P;
    }
    return lastr;
}

int main()
{
    scanf("%d%lld",&T,&p);
    ll x=p;
    for(ll i=2;i<=(ll)sqrt(p)+1;i++)
        if (x%i==0)
        {
            fac[++totcnt]=i;
            cnt[totcnt]=0;
            while(x%i==0)
            {
                cnt[totcnt]++;
                x/=i;
            }
        }
    if (x!=1) fac[++totcnt]=x,cnt[totcnt]=1;

    while(T--)
    {
        scanf("%lld%d%d%lld",&n,&n1,&n2,&m);
        for(int i=1;i<=n1+n2;i++)
            scanf("%lld",&a[i]);
        for(int i=1;i<=n2;i++)
            m-=a[n1+i]-1;
        m-=n;

        ll ans=0;
        for(int i=0;i<(1<<n1);i++)
        {
            int tot=0;
            ll x=m;
            for(int j=0;j<n1;j++)
                if (i&(1<<j))
                {
                    tot++;
                    x-=a[j+1];
                }
            if (tot%2) ans=(ans-exlucas(x+n-1,n-1)+p)%p;
            else ans=(ans+exlucas(x+n-1,n-1))%p;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }

    return 0;
}