【BZOJ3930】选数(CQOI2015)-数论+容斥

测试地址:选数
做法:本题需要用到数论+容斥。
首先把区间中所有能被k整除的数拿出来,显然只有在这些数里面取才可能得到最大公因数k,把这些数同除k,我们就得到了一个连续区间[l,r],问题转化成在区间[l,r]中取n个数,使得它们的最大公因数是1,求方案数。
这里我们有一个结论:在长度为n的连续区间内,两个不同的数的最大公因数<n。这个显然可以用鸽巢原理证明。那么我们知道,除了所有n个数都是同一个数的方案,其它每一种方案的最大公因数都不超过rl,根据题目条件,这个数不超过105,问题的范围减小到了可以解决的程度。
那么我们令f(i)为最大公因数是i的方案数,容易想到把所有i的倍数取出来,假设有x个,那么方案数为xnx,之所以要减去x,是因为我们这里暂时不算所有n个数都是同一个数的方案。然而我们注意到,这个方案数并不是最大公因数是i的方案数,而是最大公因数是i倍数的方案数,于是我们可以容斥一下,从大到小枚举i,我们知道对于j>if(j)已经是正确的了,那么我们就枚举i的所有倍数j,从f(i)中减去f(j),最后剩下的也就是正确的方案数了。那么最后f(1)就是答案。
等等,我们还没有算所有n个数都是同一个数的情况呢!实际上这种情况就非常简单了,因为这种情况下最大公因数一定就是它本身,于是我们只要看看区间中有没有1,如果有就对答案加1即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1000000007;
ll n,k,l,r,f[100010];

ll power(ll a,ll b)
{
    ll s=1,ss=a;
    while(b)
    {
        if (b&1) s=s*ss%mod;
        ss=ss*ss%mod;b>>=1;
    }
    return s;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&l,&r);
    if (l%k==0) l=l/k;
    else l=l/k+1;
    r=r/k;

    for(ll i=1;i<=r-l;i++)
        f[i]=((power(r/i-(l-1)/i,n)-r/i+(l-1)/i)%mod+mod)%mod;
    for(ll i=r-l;i>=1;i--)
        for(ll j=2;i*j<=r-l;j++)
            f[i]=(f[i]-f[i*j]+mod)%mod;
    if (l==1) f[1]=(f[1]+1)%mod;
    printf("%lld",f[1]);

    return 0;
}
posted @ 2018-05-04 16:40  Maxwei_wzj  阅读(87)  评论(0编辑  收藏  举报