【LuoguP4609】建筑师(FJOI2016)-第一类斯特林数

测试地址:建筑师
做法:本题需要用到第一类斯特林数。
我们先来分析“可见”这个性质。因为建筑的高度各不相同,所以两个可见建筑之间,一定是若干个比这两个可见建筑高度要小的建筑。而我们知道高度为n的建筑无论如何都会被看到,而从这个建筑往两边的可见建筑高度显然是不断减小的。这样,我们把从左(右)边能看到的每一个可见建筑,与它右(左)边下一个可见建筑之间的部分看做一个集合,因为高度为n的建筑无论如何都可见所以我们就不管它了,这样我们就相当于要把1~n1这些数分成A+B2个集合,每个集合都是一个排列,且要求排列的首位(或末位)必须是集合内的最大值,求方案数。
注意到,任何两个互不相同的圆排列,都可以转成两个互不相同的满足上述条件的排列,这就说明圆排列和上述满足条件的排列是等价的。而把n1个元素拆成A+B2个圆排列的方案数,这就是第一类斯特林数的定义。具体来说,第一类斯特林数s(i,j)i个元素拆成j个圆排列的方案数)的递推式如下:
s(i,j)=s(i1,j1)+(i1)s(i1,j)
边界条件为s(0,0)=1。这个递推式的含义是,分别讨论i这个元素是被分在新的圆排列里,还是插入之前的某个圆排列里。如果被分在新的圆排列里,方案数就是s(i1,j1),而如果插入之前的某个圆排列里,有i1个位置可供插入,所以方案数是(i1)s(i1,j)
所以上面问题的答案就很显然是s(n1,A+B2)。但是还没有结束,我们意识到,把分成的这些集合,分配到高度为n的建筑的左边和右边,每一种集合的分配方案就会产生s(n1,A+B2)种方案。而强制左边有A个建筑可见,就是强制要向左边分配A1个集合,所以最后的答案就是:
CA+B2A1×s(n1,A+B2)
O(na+a2)a=A+B)预处理,然后O(1)回答每个询问即可。
以下是本人代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1000000007;
int T,mxn=0,mxab=0,n[200010],a[200010],b[200010];
ll s[50010][210]={0},C[210][210]={0};

void init()
{
    scanf("%d",&T);
    for(int i=1;i<=T;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&n[i],&a[i],&b[i]);
        mxn=max(mxn,n[i]);
        mxab=max(mxab,a[i]+b[i]);
    }

    s[0][0]=1;
    for(ll i=1;i<=mxn;i++)
        for(ll j=1;j<=i&&j<=mxab;j++)
            s[i][j]=(s[i-1][j-1]+(i-1)*s[i-1][j])%mod;

    C[0][0]=1;
    for(ll i=1;i<=mxab;i++)
    {
        C[i][0]=1;
        for(ll j=1;j<=i;j++)
            C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
    }
}

void work()
{
    for(int i=1;i<=T;i++)
        printf("%lld\n",s[n[i]-1][a[i]+b[i]-2]*C[a[i]+b[i]-2][a[i]-1]%mod);
}

int main()
{
    init();
    work();

    return 0;
}
posted @ 2018-06-15 08:27  Maxwei_wzj  阅读(64)  评论(0编辑  收藏  举报