【HDU6057】Kanade's Convolution-FWT

测试地址:Kanade’s Convolution
题目大意:给定两个长为2m(m19)的向量A,B,计算向量C,其中:

Ck=i and j=kAi xor jBi or j

做法:本题需要用到FWT。
看到这种类似卷积的东西,又是关于位运算,自然想到FWT。但是这个式子看上去实在复杂,三种位运算都有,貌似不可算,所以我们先化一下式子:
首先我们根据位运算的定义,有:(i and j)+(i xor j)=i or j。于是我们把枚举i,j改成枚举x=i or j,y=i xor j,那么条件i and j=k就变成了xy=k,根据x,y之间的特殊关系,减号可以换成xor。在这种情况下,需要有一个约束条件使得存在一些与一对x,y对应的i,j,这个约束条件为x and y=y。又根据一些二进制位的关系可以得出,一对这样的x,y所对应的i,j对数为2bit(y),其中bit(y)y的二进制位数。这样我们就把式子化成了下面的形式:
Ck=x xor y=k[x and y=y]BxAy2bit(y)

这时候这个式子已经很有卷积的感觉了,关键是方括号内的部分怎么处理。这时候我们需要把条件换成另一个等价的条件。当x xor y=k时,x and y=ybit(x)bit(y)=bit(k)是等价的,证明还是从x,y间的特殊关系着手。于是式子变成:
Ck=x xor y=k[bit(x)bit(y)=bit(k)]BxAy2bit(y)

令向量F(A,k)i=[bit(i)=k]Ai(实际上就是把bit(i)k的所有Ai单独抽出来),再令Ai=Ai2bit(i),有:
F(C,k)=i=kmF(B,i)F(A,ik)
根据FWT得出的点值表示的性质,这些东西可以通过FWT后,直接对位相加、乘来计算,最后再把这一大堆进行逆FWT即可。
注意到Ck=F(C,bit(k))k,于是我们只需按照上面的方法计算出F(C,i)即可解决此题,时间复杂度为O(m22m)
以下是本人代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const ll inv=(mod+1)>>1;
int m,n,bit[600010];
ll a[600010],b[600010];
ll A[20][600010]={0},B[20][600010]={0},C[20][600010]={0};

void FWT(ll *a,int n,int type)
{
    for(int mid=1;mid<n;mid<<=1)
        for(int l=0;l<n;l+=(mid<<1))
            for(int k=0;k<mid;k++)
            {
                ll x=a[l+k],y=a[l+mid+k];
                a[l+k]=(x+y)%mod;
                a[l+mid+k]=(x-y+mod)%mod;
                if (type==-1)
                {
                    a[l+k]=a[l+k]*inv%mod;
                    a[l+mid+k]=a[l+mid+k]*inv%mod;
                }
            }
}

int main()
{
    scanf("%d",&m);
    n=(1<<m);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%lld",&b[i]);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        bit[i]=0;
        int x=i;
        while(x)
        {
            if (x&1) bit[i]++;
            x>>=1;
        }
    }

    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        A[bit[i]][i]=a[i]*(1ll<<bit[i])%mod;
        B[bit[i]][i]=b[i];
    }
    for(int i=0;i<=m;i++)
        FWT(A[i],n,1),FWT(B[i],n,1);
    for(int i=0;i<=m;i++)
        for(int j=0;j+i<=m;j++)
        {
            int k=j+i;
            for(int p=0;p<n;p++)
                C[i][p]=(C[i][p]+A[j][p]*B[k][p])%mod;
        }
    for(int i=0;i<=m;i++)
        FWT(C[i],n,-1);

    ll now=1,ans=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        ans=(ans+C[bit[i]][i]*now)%mod;
        now=now*1526ll%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);

    return 0;
}
posted @ 2018-07-02 22:31  Maxwei_wzj  阅读(97)  评论(0编辑  收藏  举报