每日一题_191108

函数\(y=\sqrt{3}\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{2}{x}\right)\)图象为双曲线,则其焦点坐标为\(\underline{\qquad\qquad}\).
解析:
法一 显然,该双曲线关于原点中心对称,但其焦点并未在坐标轴上,现拟将该双曲线通过旋转变换,使得新双曲线的焦点位于坐标原点.再反解出旋转变换前的焦点坐标.设将原双曲线绕着原点逆时针旋转\(\theta\),设旋转后的双曲线上任意点的坐标为\((a,b)\),则旋转前坐标\((x,y)\)与旋转后坐标\((a,b)\)有如下关系\(:\)

\[ \begin{cases} &x=a\cos\theta+b\sin\theta,\\ &y=-a\sin\theta+b\cos\theta, \end{cases} \]

代入原函数表达式可得$$
A\cdot a^2+B\cdot b^2+C\cdot ab+D=0.$$其中$$
\begin{cases}
& A=\cos^2\theta+\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta,\
& B=\sin^2\theta-\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta,\
& C=\sin2\theta-\sqrt{3}\cos2\theta,\
& D=-6,
\end{cases}

\[若要使得旋转后的双曲线的焦点位于坐标轴上,则交叉项的系数必须为$0$,也即$C=0$,又即 \]

\sin2\theta-\sqrt{3}\cos2\theta=0.$$因此\(\theta\)的一个解为\(\dfrac{\pi}{6}\).此时$$
(A,B,C)=\left(\dfrac{3}{2},-\dfrac{1}{2},-6\right).$$于是将原双曲线绕着坐标原点逆时针旋转\(\dfrac{\pi}{6}\)后的双曲线方程为$$
\dfrac{a^{2}{4}-\dfrac{b}2}{12}=1.$$新双曲线的焦点坐标为\((\pm 4,0)\).于是可得旋转前双曲线的焦点坐标为[
\begin{cases}
&x=a\cos\theta+b\sin\theta=\pm 2\sqrt{3},\
&y=-a\sin\theta+b\cos\theta=\mp 2,
\end{cases}
]因此所求双曲线的焦点坐标为\(\left(2\sqrt{3},-2\right)\)与\(\left(-2\sqrt{3},2\right)\).

法二 易知,函数\(y=\sqrt{3}\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{2}\right)\)的两条渐近线为\(x=0\)与\(y=\dfrac{x}{\sqrt{3}}\).


作这两条渐近线的两条角平分线$y=\sqrt{3}x$与$y=-\dfrac{x}{\sqrt{3}}$,若将双曲线放置于这两条角平分线所构成的平面直角坐标系中,则该双曲线的焦点位于直线$y=-\dfrac{x}{\sqrt{3}}$上,记为$M,N$,$A,B$为该双曲线的实轴端点.若记新坐标系下的双曲线方程为$$ \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1,a,b>0.$$记半焦距为$c$,则易知$$ \begin{cases} &|AB|=2a=4,\\ &\dfrac{b}{a}=\sqrt{3}. \end{cases} $$ 解得$(a,b)=(2,2\sqrt{3})$,从而$$ |MN|=2c=2\sqrt{a^2+b^2}=8.$$于是易得两焦点也即$M,N$的坐标为$$ M(2\sqrt{3},-2),N(-2\sqrt{3},2).$$