每日一题 191103

已知函数\(f(x)=(ax-x^2)\mathrm{e}^x(a\geqslant 0)\).
\((1)\) 若函数\(f(x)\)在区间\([2,+\infty)\)上单调递减,求实数\(a\)的取值范围;
\((2)\) 设\(f(x)\)的两个极值点为\(x_1,x_2(x_1>x_2)\),若\(a\geqslant \dfrac{2\sqrt{11}}{5}\),求证:\(f(x_1)+f(x_2)>0\).附注\(:{\ln}11\approx 2.398\).
解析:
\((1)\) 对\(f(x)\)求导可得$$
f'(x)=\left[-x^{2+\left(a-2\right)x+a\right]\mathrm{e}}x.$$由于\(f(x)\)在区间\([2,+\infty)\)单调递减,因此\(\forall x\geqslant 2,f'(x)\leqslant 0\),参变全分离可得$$
\forall x\geqslant 2,a\leqslant (x+1)-\dfrac{1}{x+1}.$$易求得上述不等式右侧表达式在\(x=2\)时,取得最小值\(\dfrac 83\),因此\(a\)的取值范围是\(\left(-\infty,\dfrac 83\right]\).

\((2)\) 由题可知\(x_1,x_2\)是下述关于\(x\)的一元二次方程的两个解$$
-x^2+(a-2)x+a=0,a\geqslant \dfrac{2\sqrt{11}}{5}.$$其中\(x_1<x_2\),由求根公式易得$$
x_1=\dfrac{-2+a-\sqrt{4+a^{2}}{2},x_2=\dfrac{-2+a+\sqrt{4+a}2}}{2}.$$
%显然当\(a\geqslant \dfrac{2\sqrt{11}}{5}\)时, \(x_2\)是关于\(a\)的单调递增的函数,易求得\(x_2\)的取值范围为\(\left[ \dfrac{\sqrt{11}+1}{5},+\infty \right)\).且有
从而$$
\begin{cases}
&ax_1-x_1^{2=2x_1-a=-\sqrt{a}2+4}-2,\
&ax_2-x_2^{2=2x_2-a=\sqrt{a}2+4}-2,
\end{cases}

\[于是\]

\begin{split}
f(x_1)+f(x_2)&=\left(-\sqrt{a^{2+4}-2\right)\mathrm{e}}+\left(\sqrt{a^{2+4}-2\right)\mathrm{e}}\
&=\dfrac{\mathrm{e}^{{x_1}}{\sqrt{a}2+4}+2}\cdot\left[\dfrac{\sqrt{a^{2+4}-2}{\sqrt{a}2+4}+2}\cdot \mathrm{e}^{\sqrt{a2+4}}-1 \right]\
&>0.
\end{split}

\[ 证毕.\]