约数及其有关问题
数学：最大公约数
1. 欧几里得算法
常识
- 若 \(d|x\) 且 \(d|y\) 则 \(d|x+y\) 且 \(d|x-y\) 且 \(d|ax+by\)
- \(\gcd(a, 0) = a\)
辗转相减（更相减损术）
证明思路：证明左右两边的因子完全相同（这是很基本的数学证明方法）
int gcd(int a, int b) { //注意b=0时的情况
while (a != b) {
if (a > b) a -= b;
else b -= a;
}
return a;
}
辗转相减很少用。改良版本的辗转相减（所谓的Stein算法）可能在求大整数的最大公约数时更快
辗转相除（欧几里得算法）
证明：\(a \bmod b = a - \lfloor \frac ab\rfloor b = a - kb\)
int gcd(int a, int b) {
if (b == 0) return a;
else return gcd(b, a bmod b);
}
复杂度 \(\Theta(\log)\)，因为 \(a \bmod b\) 每次至少把 \(a\) 减半
多个数的最大公约数：\(\gcd(a,b,c,d)\)
最小公倍数
证明思路：考虑 \(ab,\text{lcm}(a,b),\gcd(a,b)\) 的唯一分解定理形式
2. 裴蜀定理
问题：求解不定方程 \(ax+by=c\)，其中 \(a,b\) 是不全为 \(0\) 的整数，\(x,y\) 是未知数
根据上面的“常识”，若 \(d|a\) 且 \(d|b\) 则一定有 \(d|c\)，那么 \(\gcd(a,b)|c\)
也就是说，如果这个不定方程有解，则 \(c\) 一定是 \(\gcd(a,b)\) 的倍数
裴蜀定理
若 \(a,b\) 是不全为 \(0\) 的整数，则存在整数 \(x,y\)，使得 \(ax+by=\gcd(a,b)\)
3. 扩展欧几里得算法
求 \(ax + by = \gcd(a, b)\) 的一组解
注意到右边相等，所以 \(a x_1 + b y_1 = b x_2 + (a\bmod b) y_2\)
注意到 \(a \bmod b = a - \lfloor \frac ab \rfloor b\)
则 \(a x_1 + b y_1 = a y_2 + b (x_2-\lfloor \frac ab\rfloor y_2)\)
我们只用找一组可行解，所以可以让 \(x_1 = y_2, y_1 = x_2-\lfloor \frac ab\rfloor y_2\)
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if(b == 0) { //递归结束
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, y, x); //得到y1=x2,x1=y2，不要被位置迷惑
y -= a / b * x; // y1 -= (a/b) y2，注意x已经变成了y2
return d;
}
解的性质：欧几里得得到的解绝对值最小且范围不大 （不会爆int，且只需调整一次）
所有的解：\(x-\frac bd k, y+\frac ad k\) （证明：假设有两个解，……）
应用：求解线性同余方程的非负整数解
改写为不定方程 \(ax + my = b\)
int solve(int a, int b, int m) {
int x, y, d = exgcd(a, m, x, y); // ax + my = d
if (b % d != 0) return -1; //无解
x = b / d * x % m;
if(x < 0) x += m; //注意得到的x有可能是负数
return x;
}
数学：质数、约数、筛法
一、因数与质数
-
找一个数的所有因数
-
判断一个数是不是质数
-
分解质因数
-
求一个数的因数个数、因数之和
一、因数与质数
1. 找一个数的所有因数
试除法 \(\Theta(n)\)
void getDivisors(int n) {
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (n % i == 0) cout << i << ' ';
}
太慢了！
一、因数与质数
1. 找一个数的所有因数
性质：\(n\) 的因数总是成对出现的，即 \(d|n \iff \frac nd | n\)
整除符号 \(x|y\) 表示 \(y\bmod x=0\)
所以我们可以只枚举每对因数中较小的那一个，即满足 \(d\le \frac nd\) 的因子 \(d\)。
等价于 \(d\times d\le n\) 和 \(d\le \sqrt n\)。
于是我们有 \(\Theta(\sqrt n)\) 的试除法。
一、因数与质数
1. 找一个数的所有因数
试除法 \(\Theta(\sqrt n)\)
void getDivisors(int n) {
for (int i = 1; i <= n / i; i++) {
if (n % i) continue;
cout << i << ' ';
if (i != n / i) cout << n / i << ' ';
}
}
i <= sqrt(n) 浪费时间，i * i <= n 可能爆炸 int，推荐 i <= n / i。
一、因数与质数
1. 找一个数的所有因数
小知识：一个数的因数数量大概是多少？
\(10^5\) 内因数个数最多的数有 \(128\) 个因数
\(10^8\) 内因数个数最多的数有不到 \(800\) 个因数
一、因数与质数
2. 判断一个数是不是质数
试除法
bool isPrime(int n) {
if (n < 2) return false;
for (int i = 2; i <= n / i; i++)
if (n % i == 0) return false;
return true;
}
一、因数与质数
3. 分解质因数
唯一分解定理： 一个大于 \(1\) 的自然数可以被表示为有限个质数的乘积，且表示方法是唯一的
如 \(12 = 2\times 2\times 3\)
一、因数与质数
3. 分解质因数
试除法分解质因数（跟短除法很像）
void divide(int n) {
for (int i = 2; i <= n / i; i++) {
if (n % i) continue;
// 此时i一定是质数，为什么？
int c = 0;
while (n % i == 0)
n /= i, c++;
cout << i << ' ' << c << '\n';
}
// 最多只有1个>sqrt(n)的质因子，为什么？
if (n > 1) cout << n << ' ' << 1;
}
一、因数与质数
4. 求一个数的因数个数、因数之和
唯一分解定理是解决因数问题的常用工具
因数个数：
解释：\(n\) 的任一因数 \(d\) 可以写为 \(d=p_1^{b_1}p_2^{b_2}\cdots p_k^{b_k}\)，其中 \(0\le b_i\le c_i\)，所以 \(b_i\) 有 \(c_i+1\) 种可能的取值
代码实现：开个 map
一、因数与质数
4. 求一个数的因数个数、因数之和
唯一分解定理是解决因数问题的常用工具
因数之和：
解释：展开有惊喜，可举例帮助理解
代码实现：每次 \(\times p + 1\)，类似秦九韶算法
二、筛法
找出 \(1\sim n\) 中的所有质数
-
朴素筛
-
埃氏筛
-
线性筛
二、筛法
1. 朴素筛
为什么叫“筛”？
在 \(2,3,4,5,6,7,8,\cdots\) 中删去（筛掉）\(2\) 的倍数、\(3\) 的倍数、\(\cdots\)
最后剩下的没被筛掉的数就是质数
bool notPri[N];
int primes[N], tot;
void getPrimes(int n) {
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!notPri[i]) primes[++tot] = i;
for (int j = i + i; j <= n; j += i)
notPri[j] = true;
}
}
朴素筛法的复杂度是多少？
二、筛法
1. 朴素筛
小知识：调和级数
朴素筛法的复杂度：
\(\lfloor\frac n2\rfloor + \lfloor\frac n3\rfloor + \cdots + 1\)
\(\Theta(n\ln n)\)
二、筛法
2. 埃氏筛
对朴素筛的改进：只删掉质数的倍数（因为合数一定能被它的质因子筛掉）
bool notPri[N];
int primes[N], tot;
void getPrimes(int n) {
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!notPri[i]) { //只有这一点区别
primes[++tot] = i;
for (int j = i + i; j <= n; j += i)
notPri[j] = true;
}
}
}
二、筛法
2. 埃氏筛
埃氏筛的复杂度是多少？
质数分布小规律：\(1\sim n\) 中的质数大约有 \(\frac{n}{\ln n}\) 个
思考：本来要用 \(n\) 个数来筛，现在只用 \(\frac{n}{\ln n}\) 个，复杂度大概是 \(\frac{n}{\ln n}\times \ln n = \Theta(n)\)？
上面的估计很不准确。实际上应该是 \(\Theta(n\log (\log n))\)。了解即可。证明我不知道。
埃式筛已经“几乎”是线性的，\(\ln(\ln10^7)\approx 2.8\)，很小
二、筛法
3. 线性筛（欧拉筛）
还能更快：每个合数只被它的最小质因子筛一次，复杂度 \(\Theta(n)\)
// 巨常用，要理解+记忆
bool notPri[N];
int primes[N], tot;
void getPrimes(int n) {
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!notPri[i]) primes[++tot] = i;
for (int j = 1; primes[j] <= n / i; j++) {
notPri[primes[j] * i] = true; //注意i和j不要写错
if (i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
为什么每个合数只被它的最小质因子筛一次？
二、筛法
3. 线性筛（欧拉筛）
不难发现，primes[j] 要么比 i 的最小质因子还小（break 之前），要么就是 i 的最小质因子（break 时）
所以 primes[j] 一定是 primes[j] * i 的最小质因子！
二、筛法
3. 线性筛（欧拉筛）
另一种推荐写法：线性筛，顺便求每个数的最小质因子
这种写法可能更能体现欧拉筛的思想
int p[N], primes[N], tot;
void getPrimes(int n) {
p[1] = 1; // 根据题目需要设定p[1]的值
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!p[i]) p[i] = i, primes[++tot] = i;
for (int j = 1; primes[j] <= n / i; j++) {
p[primes[j] * i] = primes[j];
if (p[i] == primes[j]) break;
}
}
}
二、筛法
3. 线性筛（欧拉筛）
对试除法分解质因数的改进：
先求出每个数的最小质因子（数组 p[]），不必从 \(2\) 开始枚举质因子，每次都用 p[n] 来试除即可
复杂度：\(\Theta(\sqrt {质数个数})=\Theta(\sqrt{\frac{n}{\ln n}})\) （存疑）
浙公网安备 33010602011771号