【bzoj2001】 Hnoi2010—City 城市建设
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2001 (题目链接)
题意
给出一张无向图，$m$组操作，每次修改一条边的权值，对于每次操作输出修改之后的图的最小生成树边权和。
Solution
nnd开了半个小时的脑洞，然并卵。感谢这位大爷的代码与题解：http://blog.csdn.net/u013368721/article/details/39183033
我们对时间cdq分治，如何在每一层向下递归的时候减小问题规模呢，两个关键的操作：
所以在每一层我们按顺序，先缩点，然后删边，这样子缩小了问题规模后往下递归。为什么这样的复杂度就是对的呢，我大概YY了一下。
在我们当前处理的这一层中，只有既不是必须边也不是无用边的边才会记入下一层的图中。考虑既这种边需要满足哪些条件。
不是必须边：有某条待修改的边可以代替这条边。这么说来这些边是与待修改边息息相关的，在非待修改的边中这条边独一无二，而它所起到的作用又可以被某条待修改的边所代替，那么待修改的边与这种边大概是可以一一对应的。而待修改的边每往下递归一层就会减半，所以问题的规模每次也会减半。嘿嘿，极不严谨的证明（其实不过是口胡）
好吧请忽略上面的口胡，我们来严谨的证明一下。
设询问边的集合为$S$，图中的边集$E$，图中的点集$V$。两种操作可以看成是求了$G(V,E-S)$的最小生成树。
Reduction：最坏情况下最小生成树里面的边全都不是$|S|$上的，我们至少可以把边数缩小为$|V|-1+|S|$。
Contraction：最坏情况下最小生成树里面的边全都是$|S|$上的，我们至少可以把点数缩小为$|S|+1$。
所以我们缩点后，再删边，下一层的图的规模就是与$|S|$同级的了，复杂度得到了保证。
细节
清空并查集的时候不要破坏了复杂度。
代码
// bzoj2001
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LL long long
#define inf (1ll<<30)
#define Pi acos(-1.0)
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout)
using namespace std;
const int maxn=20010,maxm=50010;
int n,m,Q,nv[20],ne[20],val[maxm];
LL ans[maxm];
struct ask {int id,w;}q[maxm];
struct edge {
int u,v,w,id;
friend bool operator < (edge a,edge b) {return a.w<b.w;}
}e[20][maxm];
namespace Unionset {
int fa[maxn],size[maxn];
int find(int x) {
return fa[x]==x ? x : fa[x]=find(fa[x]);
}
int merge(int x,int y) {
x=find(x),y=find(y);
if (x==y) return 0;
if (size[x]>size[y]) swap(x,y);
fa[x]=y,size[y]+=size[x];
return 1;
}
void clear(int x) {
for (int i=1;i<=x;i++) fa[i]=i,size[i]=1;
}
}
using namespace Unionset;
namespace CDQ {
int id[maxm],vis[maxm],newv[maxn];
edge tmp[maxm],L[maxm];
void contraction(int &N,int &M,LL &res) {
int tn=0,tm=0;
sort(L+1,L+1+M);clear(N);
for (int i=1;i<=M;i++) vis[i]=0;
for (int i=1;i<=M;i++) {
if (merge(L[i].u,L[i].v) && L[i].w!=-inf) vis[i]=1,res+=L[i].w;
else tmp[++tm]=L[i];
}
clear(N);
for (int i=1;i<=M;i++) if (vis[i]) merge(L[i].u,L[i].v);
for (int i=1;i<=N;i++) if (find(i)==i) newv[i]=++tn;
for (int i=1;i<=N;i++) newv[i]=newv[find(i)];
for (int i=1;i<=tm;i++) {
L[i]=tmp[i];
id[L[i].id]=i;
L[i].u=newv[L[i].u],L[i].v=newv[L[i].v];
}
N=tn,M=tm;
}
void reduction(int &N,int &M) {
int tm=0;
sort(L+1,L+1+M);clear(N);
for (int i=1;i<=M;i++)
if (merge(L[i].u,L[i].v) || L[i].w==inf) id[L[i].id]=++tm,L[tm]=L[i];
M=tm;
}
void solve(int l,int r,int c,LL res) {
int N=nv[c],M=ne[c];
if (l==r) val[q[l].id]=q[l].w;
for (int i=1;i<=M;i++) {
e[c][i].w=val[e[c][i].id];
L[i]=e[c][i];
id[L[i].id]=i;
}
if (l==r) {
sort(L+1,L+1+M);clear(N);
for (int i=1;i<=M;i++) if (merge(L[i].u,L[i].v)) res+=L[i].w;
ans[l]=res;return;
}
for (int i=l;i<=r;i++) L[id[q[i].id]].w=-inf;
contraction(N,M,res);
for (int i=l;i<=r;i++) L[id[q[i].id]].w=inf;
reduction(N,M);
nv[c+1]=N,ne[c+1]=M;
for (int i=1;i<=M;i++) e[c+1][i]=L[i];
int mid=(l+r)>>1;
solve(l,mid,c+1,res);solve(mid+1,r,c+1,res);
}
}
int main() {
scanf("%d%d%d",&n,&m,&Q);
nv[0]=n,ne[0]=m;
for (int i=1;i<=m;i++) {
scanf("%d%d%d",&e[0][i].u,&e[0][i].v,&e[0][i].w);
e[0][i].id=i;val[i]=e[0][i].w;
}
for (int i=1;i<=Q;i++) scanf("%d%d",&q[i].id,&q[i].w);
CDQ::solve(1,Q,0,0);
for (int i=1;i<=Q;i++) printf("%lld\n",ans[i]);
return 0;
}
