题解|《算法竞赛进阶指南》a^b--题解

题目描述
求 a 的 b 次方对 p 取模的值，其中 0 <= a,b,p <= 10^9

输入描述:
三个用空格隔开的整数a,b和p。

输出描述:
一个整数，表示a^b mod p的值。

实例：
输入： 2 3 9
输出： 8

思路：
这道题是要先算出a的b次幂再对其结果进行求模（取余），因为b最大可为1e+9，按普通做法来做时间复杂度就太大了，显然这样过不了题，
能快速算a的b次幂，就能减小时间复杂度，快速幂就是一种不错的方法。

什么是快速幂：
快速幂是一种简化运算底数的n次幂的算法，理论上其时间复杂度为 O(log₂N)，而一般的朴素算法则需要O(N)的时间复杂度。简单来说快速幂其实就是抽取了指数中的2的n次幂，将其转换为时间复杂度为O(1)的二进制移位运算，所以相应地，时间复杂度降低为O(log₂N)。

代码原理：
以a^13为例，
先把指数13化为二进制就是1101，把二进制数字1101直观地表现为十进制则是如下的等式：
13 = 1 * (2^3) + 1 * (2^2) + 0 * (2^ 1) + 1 * (2^0)
这样一来a^13可以如下算出：
a^13 = a ^ (2^3) * a ^ (2^2) * a ^ (2^0)

完整AC代码如下：

 

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;//将long long类型取个别名：ll类型，为了方便

ll ksm(ll a, ll b,ll p) {//ksm：同快速幂
ll ans = 1 % p;

while (b) {
if ((b & 1) != 0) {//判断b的二进制第一位是否为1，用（b & 1）这个方法还能判断一个数是奇偶数
ans = ans * a % p;
}
a = a * a % p;
b = b >> 1;//去掉二进制的第一位
}
return ans;
}

int main()
{
ll a, b , p;

cin >> a >> b >> p;
cout << ksm(a , b , p) << endl;

return 0;
}