『异或与高斯消元』

异或与高斯消元

前置知识

引入

相信高斯消元大家已经学会

也就是可以解型如下式的n元1次方程组了

\[ \left\{ \begin{aligned} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + …… + a_{1,n}x_n & = & b_1 \\ a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 + …… + a_{2,n}x_n & = & b_2 \\ …… \\ a_{i,1}x_1 + a_{i,2}x_2 + …… + a_{i,n}x_n & = & b_i \\ …… \\ a_{n,1}x_1 + a_{n,2}x_2 + …… + a_{n,n}x_n & = & b_n \\ \end{aligned} \right. \]

现在我改变一下形式变换成

\[ \left\{ \begin{aligned} a_{1,1}x_1 \oplus a_{1,2}x_2 \oplus …… \oplus a_{1,n}x_n & = & b_1 \\ a_{2,1}x_1 \oplus a_{2,2}x_2 \oplus …… \oplus a_{2,n}x_n & = & b_2 \\ …… \\ a_{i,1}x_1 \oplus a_{i,2}x_2 \oplus …… \oplus a_{i,n}x_n & = & b_i \\ …… \\ a_{n,1}x_1 \oplus a_{n,2}x_2 \oplus …… \oplus a_{n,n}x_n & = & b_n \\ \end{aligned} \right. \]

虽然说$\oplus $是不进位的加法但是还是很难消元

对于这个我们稍微对高斯消元改一改具体是这样的

对于$j \in [1,n]$ 找到一个$a_{i,j} \neq 0$ 把第i行和第k行交换

再用第第k行异或下面所有的$a_{i,k} \neq 0$的行i 其中$ k \in [1,n]$ 消去系数

这样原矩阵后就成了上三角矩阵下面就和高斯消元差不多了

例题

相信大家都会了 $/se.jpg$

那么给出一道例题开关问题

首先我们对于每一个灯泡的初始状态开:1 关:0

再有一系列的开关会影响到其他灯泡

我们可以把所有灯泡看作向量$(a_1,a_2,……,a_n)$

那么第i影响开关可以记为向量$(0,s_1,0,a_i,0……,0,s_2,0)$

其中$s_i$为影响的灯泡 $a_i$是这个灯泡本身因为这个灯泡肯定影响自己

那么我们又可以得到式子了

\[ \left\{ \begin{aligned} a_1 \oplus c_{1,1}x_1 \oplus c_{1,2}x_2 \oplus …… \oplus c_{1,n}x_n & = & b_1 \\ a_2 \oplus c_{2,1}x_1 \oplus c_{2,2}x_2 \oplus …… \oplus c_{2,n}x_n & = & b_2 \\ …… \\ a_i \oplus c_{i,1}x_1 \oplus c_{i,2}x_2 \oplus …… \oplus c_{i,n}x_n & = & b_i \\ …… \\ a_n \oplus c_{n,1}x_1 \oplus c_{n,2}x_2 \oplus …… \oplus c_{n,n}x_n & = & b_n \\ \end{aligned} \right. \]

由于在二阶域上加减是等价的所以移一下项

\[ \left\{ \begin{aligned} c_{1,1}x_1 \oplus c_{1,2}x_2 \oplus …… \oplus c_{1,n}x_n & = & a_1 \oplus b_1 \\ c_{2,1}x_1 \oplus c_{2,2}x_2 \oplus …… \oplus c_{2,n}x_n & = & a_2 \oplus b_2 \\ …… \\ c_{i,1}x_1 \oplus c_{i,2}x_2 \oplus …… \oplus c_{i,n}x_n & = & a_i \oplus b_i \\ …… \\ c_{n,1}x_1 \oplus c_{n,2}x_2 \oplus …… \oplus c_{n,n}x_n & = & a_n \oplus b_n \\ \end{aligned} \right. \]

由于$ a_i $和 $ b_i $ 已知那么直接高斯消元

如果对异或高斯消元有疑惑可以看看代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std ;

const int N = 1e2 + 5 ;
const double eps = 1e-5 ;

int read(int x = 0,bool f = false,char ch = getchar()) {
    for (;!isdigit(ch);ch = getchar()) f |= (ch == '-') ;
    for (;isdigit(ch);ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48) ;
    return f ? ~ x + 1 : x ;
}

int T ;

class Martix {
    private :
        int n ;
        int martix[N][N] ;
    public :
        Martix(int x){
            memset(martix,x,sizeof martix) ;
        }
        void Init(Martix* &Rt) {
            int x , y ;
            Rt -> n = read() ;
            for (int i = 1 ; i <= Rt -> n ; ++i ) Rt -> martix[i][Rt -> n + 1] = read() ;
            for (int i = 1 ; i <= Rt -> n ; ++i ) {
                x = read() ;
                Rt -> martix[i][Rt -> n + 1] ^= x ;
                Rt -> martix[i][i] = 1 ;
            }
            while (x = read(),y = read(),x || y) Rt -> martix[y][x] = 1 ;
        }
        int solve(Martix* &Rt) {
            int ans = 1 , r = 1 ;
            for (int i = 1 ; i <= Rt -> n ; ++i ) {
                int mx = i ;
                for (int j = r + 1 ; j <= Rt -> n ; ++j )
                    if (Rt -> martix[j][i])
                        mx = j ;
                if (!(Rt -> martix[mx][i])) continue ;
                for (int j = i ; j <= Rt -> n + 1 ; ++j ) swap(Rt -> martix[mx][j],Rt -> martix[r][j]) ;
                for (int j = r + 1 ; j <= Rt -> n ; ++j )
                    for (int k = Rt -> n + 1 ; k >= i ; --k )
                        Rt -> martix[j][k] ^= Rt -> martix[j][i] & Rt -> martix[r][k] ;
                ++ r ;
            }
            if (r < Rt -> n + 1) {
                for (int i = r ; i <= Rt -> n ; ++i )
                    if (Rt -> martix[i][Rt -> n + 1]) return -1 ;
                    else ans <<= 1 ;
            } return ans ;
        }
} ;

signed main() {
    T = read() ;
    while (T --) {
        Martix* Answer = new Martix(0) ;
        Answer -> Init(Answer) ;
        int ans = Answer -> solve(Answer) ;
        if (ans == -1) puts("Oh,it's impossible~!!") ;
        else printf("%d\n",ans) ;
    }
    return 0 ;
}

下一题嘿嘿欸

装备购买

题目提示的够明显了吧

最大购买装备就高斯消元后的秩的值

然后跑一遍实数域上的线性基（回归了线性基的本质向量）

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int read(int x = 0,bool f = false,char ch = getchar()) {
    for (;!isdigit(ch);ch = getchar()) f |= (ch == '-') ;
    for (;isdigit(ch);ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48) ;
    return f ? ~ x + 1 : x ;
}

const int N = 5e2 + 5 ;
const long double eps = 1e-7 ;
int n , m , ans , tot ;
int p[N] ;

struct equip {
    long double attribute[N] ;
    int price ;
    friend bool operator < (const equip a,const equip b) {
        return a.price < b.price ;
    }
} Equip[N] ;

signed main() {
    n = read() , m = read() ;
    for (int i = 1 ; i <= n ; ++i )
        for (int j = 1 ; j <= m ; ++j )
            scanf("%llf",&Equip[i].attribute[j]) ;
    for (int i = 1 ; i <= n ; ++i )
        Equip[i].price = read() ;
    sort(Equip + 1,Equip + 1 + n) ;
    for (int i = 1 ; i <= n ; ++i )
        for (int j = 1 ; j <= m ; ++j )
            if (fabs(Equip[i].attribute[j]) > eps) {
                if (!p[j]) {
                    p[j] = i ;
                    ++ tot , ans += Equip[i].price ;
                    break ;
                } else {
                    long double div = Equip[i].attribute[j] / Equip[p[j]].attribute[j] ;
                    for (int k = j ; k <= m ; ++k )
                        Equip[i].attribute[k] -= Equip[p[j]].attribute[k] * div ;
                }
            }
    printf("%d %d\n",tot,ans) ;
}

异或线性空间

~~这玩意不是很水直接用线性基水过~~

好吧还是讲下高斯消元求法

题目先看一遍异或运算

显然在组成的若干个数$\oplus$后一定存在$a_i = a_j$

我们需要做的就是去掉那些重复的数

显然在线性空间中如果一个数能被其他数字异或起来得到即这个数肯定为某些数的线性组合

高斯消元的结果一定为0

所以我们去掉这些数即可

那么接下来要做的就是……

码!

等一等还有一点注意的如果所有数字被排除掉那么还有0的情况需要判一判

~~不过大家这么巨肯定都想到了~~

以及老人言

"不开longlong见我爹(见祖宗)"

下面是高斯消元代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 20000;

int n;
int cnt = 1;
long long a[N];

inline int read(void)
{
	int s = 0;char c = getchar();
	while (c<'0' || c>'9') c = getchar();
	while (c>='0' && c<='9') s = s*10+c-48, c = getchar();
	return s;
}

void print(void)
{
	for (int i=1;i<=n;++i) 
	{ 
		int t[100] = {};
		int k = a[i], s= 0 ;
		while (k) t[++s] = k&1, k >>= 1;
		for (int i=4;i;--i) cout<<t[i];
		cout<<endl;
	} 
	return;
}

void work(void)
{
	bool flag = 0;
	n = read();
	for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%lld",a+i);
	for (int i=1;i<=n;++i)
	{
		for (int j=i;j<=n;++j) 
		    if (a[j]>a[i]) swap(a[i],a[j]);
	    if (a[i] == 0) { flag = 1; n = i-1; break; }
	    for (int j=63;j>=0;--j)//63 not 64
	    {
	        if ((a[i] >> j) & 1)
	        {
	        	for (int k=1;k<=n;++k) 
	        	    if (i ^ k && ((a[k] >> j) & 1)) a[k] ^= a[i];
	        	break;
	        }
	    }
	}
	int m = read();
	printf("Case #%d:\n",cnt ++);
	for (int i=1;i<=m;++i)
	{
		long long ans = 0,k;
		scanf("%lld",&k);
		if (flag == 1) k --;
		if (k >= pow(2,n)) 
		{
			puts("-1");
			continue;
		}
		for (int j=64;j>=1;--j) //j表示第几位 
		    if (k >> j-1 & 1) ans ^= a[n-j+1];
		printf("%lld\n",ans); 
	}
	return;
}

int main(void)
{
	int T = read();
	while (T --) work();
	return 0;
}

~~当然我们也可以选择用线性基水过这道题~~

线性基代码丑的一比还wa了好久发现竟然是……数组开小了

其实还是线性基快一点 /se.

~~所以眼睛放干净的别老看些吃不消的听弟弟一句劝你把握不住交给弟来~~

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL ;

inline LL read(register LL x=0,register char ch=getchar(),register bool f=false) {
   for (;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=1 ;
   for (;isdigit(ch);ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48) ; return f ? ~x+1 : x ;
}

const LL N = 1e4 + 5 ;
LL T , n , ans , k , q , idx ;

class Linear_basis {
   public :
   	LL a[N] , p[N] , tot ;
   	
   	void insert (LL x) {
   		for (LL i = 63 ; ~i ; --i ) {
   			if ((1LL<<i)&x) {
   				if (!p[i]) { p[i] = x ; break ; } 
   				else x ^= p[i] ;
   			}
   		}
   	}
   	
       void build () {
           for (LL i = 63 ; ~i ; --i ) {
               if (p[i]) {
                   for (LL j = i + 1 ; j <= 63 ; ++j ) {
                       if ((p[j] >> i) & 1) p[j] ^= p[i] ;
                   }
               }
           }
           for (LL i = 0 ; i <= 63 ; ++i ) {
               if (!p[i]) continue ; 
               p[tot ++] = p[i] ;
           } -- tot ;
       }

   	void init () {
   		for (LL i = 1 ; i <= n ; ++i ) a[i] = read() ;
   		for (LL i = 1 ; i <= n ; ++i ) insert(a[i]) ;
   	}
   	
   	LL kth (LL k) {
   		if ((1LL << tot + 1LL) <= k) return -1 ;
   		LL ans = 0 ;
   		for (LL i = 63 ; ~i ; --i ) if (1LL & (k >> i)) ans ^= p[i] ;
   		return ans ;
   	}
};

Linear_basis lb ;

signed main() {
   T = read() ;
   while(T --) {
       memset(lb.p,0,sizeof lb.p) ;
       lb.tot = 0 ;
       printf("Case #%lld:\n",++ idx) ;
       n = read() ;
       lb.init() ;
       lb.build() ;
       q = read() ;
       for (LL i = 1 ; i <= q ; ++i ) {
           LL x = read() ;
           if(n != lb.tot + 1) -- x ;
           ans = lb.kth(x) ,
           printf("%lld\n",ans) ;
       }
   }
}

posted @ 2021-08-21 07:52 xxcxu 阅读(386) 评论(0) 收藏举报

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