分治法的设计思想与实例（二分，合并，快排）

分治法的基本思想是将一个规模为n的问题分割成k个规模较小的子问题，这些子问题相互独立切与原问题相同。递归的解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。

它的一般算法设计模式如下：

divide(n)
{
    if(fabs(n)<=n0)return solve(n);
    a1=divide(n1);
    a2=divide(n2);
    a3=divide(n3);
    ......
    return condition(a1,a2,a3...); 
}

其中，n表示规模为n的问题，n0为一阈值，当n<=n0时问题直接解出，否则将问题分割成多个子问题，每个子问题若没到达阈值则继续分割。达到阈值的问题直接返回解，没有达到阈值的问题根据具体情况从所有子问题返回的解中找出解。

 

二分搜索技术

二分搜索是运用分治策略的典型例子。给定排好序的n个元素a[0~n]，在这n个元素中找出一特定的元素x，二分搜索利用元素之间的次序关系，可在最坏情况下用O(logn)时间完成搜索任务，其基本思想是：每次搜索取最中间的元素，与x比较，若相等则结束，否则以最中间的元素为边界继续搜索含有x的那一边。（递归和非递归两个版本）

#include<iostream>
using namespace std;
int search(int[],int,int,int);
int search(int[],int,int);
int main()
{
    int a[100000],n,i;
    while(cin>>n)
    {
        for(i=0;i<n;i++)
            cin>>a[i];
        cin>>i;
        cout<<search(a,i,0,n-1)<<'\n';
        cout<<search(a,n,i)<<'\n';
    }
    return 0;
}
int search(int a[],int x,int l,int r)
{
    int m=(l+r)>>1,i;
    if(a[m]==x)i=m;
    else if(l==r)i=-1;
    else if(a[m]<x)i=search(a,x,m+1,r);
    else i=search(a,x,l,m-1);
    return i;
}
int search(int a[],int n,int x)
{
    int l=0,r=n-1,m;
    while(l<=r)
    {
        m=(l+r)>>1;
        if(a[m]==x)return m;
        else if(a[m]<x)l=m+1;
        else r=m-1;
    }
    if(a[m]==x)return m;
    else return -1; 
}

 

合并排序

基本思想：将待排序的元素分成大小大致相同的两个子集合，分别对两个子集合进行排序（分别分成两个子集合或者到达阈值直接返回），最终将排序好的子集合合并成排好序的集合。

#include<iostream>
using namespace std;
void apart(int[],int,int);
void merge(int[],int,int);
int main()
{
    int a[100000],n,i;
    while(cin>>n)
    {
        for(i=0;i<n;i++)
            cin>>a[i];
        apart(a,0,n-1);
        for(i=0;i<n;i++)
            cout<<a[i]<<" ";
        cout<<'\n';
    }
    return 0;
}
void apart(int a[],int l,int r)
{
    if(l==r)return;
    apart(a,l,(l+r)>>1);
    apart(a,((l+r)>>1)+1,r);
    merge(a,l,r);
}
void merge(int a[],int l,int r)
{
    int b[100000],i=l,j=((l+r)>>1)+1,k=l,m=(l+r)>>1;
    while(i<=m&&j<=r)
        if(a[i]<=a[j])b[k++]=a[i++];
        else b[k++]=a[j++];
    while(i<=m)b[k++]=a[i++];
    while(j<=r)b[k++]=a[j++];
    for(i=l;i<=r;i++)
        a[i]=b[i];
}

 

 快速排序

基本思想：

对于输入的子数组a[l~r]，按以下三个步骤排序

（1）分解：将a[l~r]分成3段a[l~p-1]、a[p]、a[p+1~r]，使a[l~p-1]中的所有元素小于等于a[p]，a[p+1~r]中的所有元素大于等于a[p]

（2）递归求解：将数组a[l~r]分割成a[l~p-1]，a[p+1~r]，分别进行（1）分解

（3）合并：由于a[l~p-1]中的所有元素小于等于a[p]，a[p+1~r]中的所有元素大于等于a[p]，而a[l~p-1]和a[p+1~r]都已经排好序了，所以不需要执行任何计算，a[l~r]已经排好序

#include<iostream>
using namespace std;
void apart(int[],int,int);
int sort(int[],int,int);
int main()
{
    int a[100000],n,i;
    while(cin>>n)
    {
        for(i=0;i<n;i++)
            cin>>a[i];
        apart(a,0,n-1);
        for(i=0;i<n;i++)
            cout<<a[i]<<" ";
        cout<<'\n';
    }
    return 0;
}
void apart(int a[],int l,int r)
{
    int i=sort(a,l,r);
    if(i-1>l)apart(a,l,i-1);
    if(i+1<r)apart(a,i+1,r);
}
int sort(int a[],int l,int r)
{
    int i,j=l;
    for(i=l+1;i<=r;i++)
        if(a[i]<=a[l])swap(a[i],a[++j]);
    swap(a[l],a[j]);
    return j;
}