[总结]关系数据库设计基础(函数依赖、无损连接性、保持函数依赖、范式、……)

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函数依赖（Function Dependency）

定义
设关系模式R（U），属性集合U= {A1，A2，…，An}，X，Y为属性集合U的子集，如果对于关系模式R(U)的任一可能的关系r，r中的任意两个元组u、v，若有 u[X]=v[X]，就有u[Y]=v[Y]，则称X函数决定Y，或称Y函数依赖于X。用符号X→Y表示。其中X为决定因素，Y为被决定因素。若对于R（U）的任意一个可能的关系r，r中不可能存在两个元组在X上的属性值性等，而在Y上的属性值不等。
　(1) 函数依赖是语义范畴的概念，只能根据语义来确定一个函数依赖关系。
　(2) 函数依赖X→Y的定义要求关系模式R的任何可能的关系r中的元组都满足函数依赖条件。
术语
　(1)若X→Y，则X称作决定因素（Determinant）
　(2)若X→Y，Y→X，称作X<->Y。
　(3)若Y不函数依赖于X，称作X -/-> Y。
　(4)X→Y，若Y不包含X,即X ⊄ Y，则称X→Y为非平凡的函数依赖。正常讨论的都是非平凡的函数依赖。
　(5)X→Y，若Y包含X，即X ⊂ Y，则称X→Y为平凡的函数依赖。
　(6)完全函数依赖(full functional dependency)：在R(U)中，设X、Y是关系模式R（U）中不同的属性子集(即X  ⊂ U,Y  ⊂ U),

　　　　若存在 X→Y，且不存在 X的任何真子集X'(即 X' ⊊ X)，使得 X'→Y，则称Y完全函数依赖 ( full functional dependency ) 于X。记作 X-F->Y。

　(7)部分函数依赖：在关系模式R（U）中，X、Y是关系模式R（U）中不同的属性子集(即X  ⊂ U,Y  ⊂ U),

　　　　若X→Y成立，如果X中存在任何真子集X'(即 X' ⊊ X)，而且有X'→Y也成立，则称Y对X是部分函数依赖，记作：X-P->Y。

　(8)设R是关系模式，U是其属性集，K包含于U(即K ⊂ U) 。若K完全函数确定U，则称K是R的候选键(又叫候选关键字，候选码)。包含在任意候选键内的属性称为键属性（又叫主属性），不是键属性的属性称为非键属性（又叫非主属性）。显然，候选键可以唯一　　标识关系的元组。候选键可能不唯一，通常指定一个候选键作为识别元组的主键。

 　(9)若关系R的属性子集X是另一关系S的候选键，则称X是R关于S的外部键。主键和外部键描述了关系之间的联系。
　 (10)传递函数依赖：在关系模式R(U) 中，如果X→Y，Y→A，且YX（Y不决定X）， AY（A不属于Y）,那么称X→A是传递依赖。

一题搞懂什么是候选键

 

学号	姓名	性别	年龄	系别	专业
20020612	李辉	男	20	计算机	软件开发
20020613	张明	男	19	计算机	软件开发
20020614	王小玉	女	18	物理	力学
20020615	李淑华	女	17	生物	动物学
20020616	赵静	男	21	化学	食品化学
20020617	赵静	女	20	生物	植物学

【题目】数据库中有一个学生信息表如上所示，在该表中不能作为候选键的属性集合为（ ） （选择一项）

a）{学号}              b）{学号、姓名}            c）{年龄、系别}            d）{姓名、性别}            e）{姓名、专业}

【解析】透过概念，我们可以了解到，超键包含着候选键，候选键中包含着主键。主键一定是惟一的。为什么呢？因为他的爷爷超键就是惟一的。
我们分析一下上面的题目，a，b，c，d，e，5个答案都可以作为超键，他们组合在一起的集合可以用来惟一的标识一条数据记录（实体）。
请注意我们的要求：候选键。候选键要求是不能包含多余属性的超键，我们看一下答案b。在答案b中，如果我们不使用姓名也可以惟一的
标识一条数据实体，可以说姓名字段在这里是多余的。那么很明显，b选项包含了多余字段属性。那么这题答案应该选择b。

那么其他的4个选项都可以作为候选键，假设很幸运，a）｛学号｝被选择作为用户正在使用的候选键来惟一标识元组了，那么他很幸运的获得了主键的称号

【答案】b

 

函数依赖的推理规则

1. 逻辑蕴含
　　给定一个关系模式，只考虑给定的函数依赖是不够的，必须找出在该关系模式上成立的其他函数依赖。
　　逻辑蕴含：设F是关系模式R（U）的函数依赖集合，由F出发，可以证明其他某些函数依赖也成立，我们称这些函数依赖被F逻辑蕴含。"F蕴含X→Y"意味着关系实例只要满足F就满足X→Y。
　　例如，设F={ A→B，B→C }，则函数依赖A→C被F逻辑蕴含，记作：F |= A→C。即函数依赖集 F 逻辑蕴含函数依赖A→C。

2. F的闭包F⁺
　　对于一个关系模式，如何由已知的函数依赖集合F，找出F逻辑蕴涵的所有函数依赖集合呢？这就是我们下面要讨论的问题。
　　F的闭包F⁺：设F为一个函数依赖集，F的闭包是指F逻辑蕴涵的所有函数依赖集合。 F的闭包记作F⁺。
　　例如，给定关系模式R(A,B,C,G,H,I)，函数依赖集合F={A→B，A→C，CG→H，CG→I，B→H}。可以证明函数依赖A→H被F逻辑蕴涵。
　　设有元组s和t，满足s[A]=t[A]，根据函数依赖的定义，由已知的A→B，可以推出s[B]=t[B]。又根据函数依赖B→H，可以有 s[H]=t[H]。因此，已经证明对任意的两个元组s和t，只要有s[A]=t[A]，就有s[H]=t[H]。所以，函数依赖A→H被F逻辑蕴涵。
　　计算F的闭包F⁺，可以由函数依赖的定义直接计算，如上面的示例。

 

当F很大时，计算的过程会很长。为了从已知的函数依赖推导出其它函数依赖，Armstrong 提出了一套推理规则，称为Armstrong 公理 ，通过反复使用这些规则，可以找出给定F的闭包F⁺。

3．Armstrong 公理
　　设U为属性总体集合，F为U上的一组函数依赖集，对于关系模式R（U，F），X、Y、Z为属性U的子集，有下列推理规则：

　　在此先说一下 Armstrong 的基本公理和推理规则：

　　基本公理：

　　1）（自反律）如果 Y ∈ X∈ U，则 X → Y 成立。（平凡函数依赖）

　　2）（增广律）如果 X → Y 在 R(U)  成立，且 Z∈ U，则 XZ → YZ成立

　　3）（传递律）如果 X → Y，Y → Z 成立，则 X → Z 成立。

　　推理规则：

　　1）（合并）：{X → Y，X → Z}，则 X → YZ

　　2）（分解）：{X → Y，Z ∈ Y}，则 X → Z。（或：X → YZ，那么 X → Y，X → Z）

　　3）（伪传递）：{X → Y,YW → Z}，则 WX → Z

　　4）（复合）：{X → Y，W → Z},则 XW → YZ

　　5）（自积律）：{X → YZ，Z → W}，则 X → YZW

4．属性集的闭包
　　原则上讲，对于一个关系模式R(U,F)，根据已知的函数依赖F，反复使用前面的规则，可以计算函数依赖集合F的闭包F⁺。但是，利用推理规则求出其全部的函数依赖F⁺是非常困难的，而且也没有必要。因此，可以计算闭包的子集，即选择一个属性子集，判断该属　　性子集能函数决定哪些属性，这就是利用属性集闭包的概念。
　（1）属性集闭包的定义
　　设F为属性集U上的函数依赖集，X∈U，即X为U的一个子集。在函数依赖集F下被X函数决定的所有属性为F⁺下属性集X的闭包，记作X⁺。即X⁺＝{ A| X→A } 。
　（2）计算属性集闭包X⁺的算法如下：
　　输入：X，F
　　输出： X⁺
　　迭代算法的步骤：
　　① 选取X⁺的初始值为X ，即X⁺＝{X}；
　　② 计算X⁺， X⁺＝{X,Z} ，其中Z要满足如下条件：
     Y是X⁺的真子集，且F中存在一函数依赖Y→Z。实际上就是以X⁺中的属性子集作为函数依赖的决定因素，在F中搜索函数依赖集，找到函数依赖的被决定属性Z放到X⁺中。
　　③ 判断：如果X⁺没有变化？或X⁺等于U？则X⁺就是所求的结果，算法终止。否则转②。
　  因为U是有穷的，所以上述迭代过程经过有限步骤之后就会终止。

　例如，已知关系模式R(U,F)，U={A,B,C,D,E,G}，F={AB→C,D→EG,C→A,BE→C,BC→D,AC→B,CE→AG},求(BD)⁺
　　　解：
　　　① (BD)⁺ = {BD}；
　　　② 计算(BD)⁺ ，在F中扫描函数依赖，其左边为B,D或BD的函数依赖，得到一个D→EG。所以，(BD)⁺= {BDEG}。
　　　③ 计算(BD)⁺，在F中查找左部为BDEG的所有函数依赖，有两个：D→EG和BE→C。所以(BD)⁺＝{(BD)∪EGC}={BCDEG}。
　　　④ 计算(BD)⁺，在F中查找左部为BCDEG子集的函数依赖，除去已经找过的以外，还有三个新的函数依赖：C→A,BC→D,CE→AG。得到(BD)⁺＝{(BD)∪ADG}＝{ABCDEG}。
　　　⑤ 判断(BD)⁺=U，算法结束。得到(BD)⁺＝{ABCDEG}。
　　说明：上面说明(B,D)是该关系模式的一个候选码。

5. Armstrong公理系统的有效性和完备性
　　①Armstrong公理系统的有效性指的是：由F出发根据Armstrong公理系统推导出来的每一个函数依赖一定是F所逻辑蕴含的函数依赖。
　　②Armstrong公理系统的完备性指的是：对于F所逻辑蕴含的每一函数依赖，必定可以由F出发根据Armstrong公理系统推导出来。

6. 极小函数依赖集（最小函数依赖集）

　　概念：对于函数集 F ，称函数集F_min 为F 的最小函数依赖集，如果 F_min满足一下条件：

 

　　1）F_min与 F等价：F_min⁺=F⁺。

 

　　2）F_min中每个函数依赖 X→Y 的依赖因素为单元素集，即Y中只含有一个属性集合。

 

　　3）F_min中每个函数依赖 X→Y的决定因素不存在冗余，即既要删除X中任何一个属性，就会改变F_min的闭包。

 

　　4）F_min中每个函数毒不是冗余的，即删除 F_min 中任意一个函数依赖，就会改变Fmin 的闭包。

 

　　定义：如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为最小函数依赖集或最小覆盖。 　　
 　　① F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性； 　　
 　　② F中不存在这样一个函数依赖X→A，使得F与F-{X→A}等价；
 　　③ F中不存在这样一个函数依赖X→A，X有真子集Z使得F-{X→A}∪{Z→A}与F等价。 　　
　　求最小函数依赖集分三步:
 　　1.将F中的所有依赖右边化为单一元素
 　　此题fd={abd->e,ab->g,b->f,c->j,cj->i,g->h};已经满足
 　　2.左边的冗余属性.
 　　作法是属性中去掉其中的一个,看看是否依然可以推导
 　　此题:abd->e,去掉a,则(bd)+不含e,故不能去掉,同理b,d都不是冗余属性
 　　ab->g,也没有
 　　cj->i,因为c+={c,j,i}其中包含i所以j是冗余的.cj->i将成为c->i
 　　F={abd->e,ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h};

 　　3.去掉F中所有冗余依赖关系.
 　　做法为从F中去掉某关系,如去掉(X->Y),然后在F中求X+,如果Y在X+中,则表明x->是多余的.需要去掉.

　　此题如果F去掉abd->e,F将等于{ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h},而(abd)+={a,d,b,f,g,h},其中不包含e.所有不是多余的.

 　　同理(ab)+={a,b,f}也不包含g,故不是多余的.
 　　b+={b}不多余,c+={c,i}不多余
 　　c->i,g->h多不能去掉.
 　　所以所求最小函数依赖集为 F={abd->e,ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h};

 

多值依赖

1、定义

设R(U)是属性集U上的一个关系模式。X，Y，Z是U的子集,并且Z=U-X-Y。关系模式R(U)中多值依赖X→→Y成立，当且仅当对R(U)的任一关系r,给定的一对(x，z)值有一组Y的值，这组值仅仅决定于x值而与z值无关。

若X→→Y，而Z＝，则称X→→Y为平凡的多值依赖。否则称X→→Y为非平凡的多值依赖。

多值依赖也可以形式化地定义如下： 在关系模式R（U）的任一关系r中，如果对于任意两个元组t,s,有t[X]=s[X]，就必存在元组w,v∈r（w和v可以与s和t相同）,使得 w[X]=v[X]=t[X]，而w[Y]=t[Y],w[Z]=s[Z],v[Y]=t[Z]，即交换s,t元组的Y值所得的两个新元组必在r中，则称Y多值依赖于X，记为X→→Y。其中，X和Y是U的子集，Z＝U-X-Y。

多值依赖属4nf的定义范围，比函数依赖要复杂得多，很多书上都没有讲清楚。

2、说得简单点就是

在关系模式中，函数依赖不能表示属性值之间的一对多联系，这些属性之间有些虽然没有直接关系，但存在间接的关系，把没有直接联系、但有间接的联系称为多值依赖的数据依赖。例如，教师和学生之间没有直接联系，但教师和学生可通过系名，或任课把教师和学生联系起来。

3、举例如下

【例1】有这样一个关系 <仓库管理员，仓库号，库存产品号> ，假设一个一个产品只能放到一个仓库中，但是一个仓库可以由若干管理员，那么对应于一个 <仓库管理员，库存产品〉有一个仓库号，而实际上，这个仓库号只与库存产品号有关，与管理员无关，就说这是多值依赖。

【例2】（C，B） 上的一个值（物理，光学原理）对应一组T值（李平，王强，刘明），这组值仅仅决定于课程C上的值，也就是说对于（C，B）上的另一个值（物理，普通物理 学），它对应的一组T值仍是（李平，王强，刘明），尽管这时参考书B的值已经改变了。因此T多值依赖于C，即C→→T。

4、多值依赖具有下列性质

●多值依赖具有对称性。即若X→→Y，则X→→Z，其中Z＝U－X－Y。

●多值依赖具有传递性。即若X→→Y，Y→→Z，则X→→Z－Y。

●函数依赖可以看作是多值依赖的特殊情况。

●若X→→Y，X→→Z，则X→→YZ。

●若X→→Y，X→→Z，则X→→Y∩Z。

●若X→→Y，X→→Z，则X→→Y－Z，X→→Z－Y。

●多值依赖的有效性与属性集的范围有关。

●若多值依赖X→→Y在R（U）上成立，对于Y'Y，并不一定有X→→Y’成立。但是如果函数依赖X→Y在R上成立，则对于任何Y'Y均有X→Y’成立。

范式

无重复的列】

• 如果关系模式R为第一范式，并且R中每一个非主属性完全函数依赖于R的某个候选键，则称为第二范式模式。【消去非主属性对键的部分函数依赖】
缺点：删除异常，插入异常，修改复杂
消去非主属性对键的部分和传递函数依赖】
部分和传递函数依赖】

X)，X都含有码,则称R∈4NF。【消除非平凡且非函数依赖的多值依赖】

⋈ ⋈ http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%BA%93%E8%A7%84%E8%8C%83%E5%8C%96以下的论述都基于这样一个前提：
R是具有函数依赖集F的关系模式，（R1 ，R2）是R的一个分解。

首先我们给出一个看似无关却非常重要的概念：属性集的闭包。
令α为一属性集。我们称在函数依赖集F下由α函数确定的所有属性的集合为F下α的闭包，记为α+ 。
下面给出一个计算α+的算法，该算法的输入是函数依赖集F和属性集α，输出存储在变量result中。
算法一：
result:=α;
while(result发生变化)do
    for each 函数依赖β→γ in F do
    begin
        if β∈result then result:=result∪γ;
    end

属性集闭包的计算有以下两个常用用途：
·判断α是否为超码，通过计算α+（α在F下的闭包），看α+ 是否包含了R中的所有属性。若是，则α为R的超码。
·通过检验是否β∈α+，来验证函数依赖是否成立。也就是说，用属性闭包计算α+，看它是否包含β。

（请原谅我用∈符号来表示两个集合之间的包含关系，那个表示包含的符号我找不到，大家知道是什么意思就行了。）

看一个例子吧，2005年11月系分上午37题：

● 给定关系R(A1，A2，A3，A4)上的函数依赖集F={A1→A2，A3→A2，A2→A3，A2→A4}，R的候选关键字为________。
（37）A. A1 　B. A1A3 　C. A1A3A4 　D. A1A2A3

首先我们按照上面的算法计算A1+ 。
result=A1，
由于A1→A2，A1∈result，所以result=result∪A2=A1A2
由于A2→A3，A2∈result，所以result=result∪A3=A1A2A3
由于A2→A4，A2∈result，所以result=result∪A3=A1A2A3A4
由于A3→A2，A3∈result，所以result=result∪A2=A1A2A3A4

通过计算我们看到，A1+ =result={A1A2A3A4}，所以A1是R的超码，理所当然是R的候选关键字。此题选A 。

好了，有了前面的铺垫，我们进入正题。

无损分解的判断。
如果R1∩R2是R1或R2的超码，则R上的分解（R1，R2）是无损分解。这是一个充分条件，当所有的约束都是函数依赖时它才是必要条件（例如多值依赖就是一种非函数依赖的约束），不过这已经足够了。

保持依赖的判断。
如果F上的每一个函数依赖都在其分解后的某一个关系上成立，则这个分解是保持依赖的（这是一个充分条件）。
如果上述判断失败，并不能断言分解不是保持依赖的，还要使用下面的通用方法来做进一步判断。
该方法的表述如下：
算法二：
对F上的每一个α→β使用下面的过程：
result:=α;
while(result发生变化)do
    for each 分解后的Ri
        t=(result∩Ri)+ ∩Ri
        result=result∪t

这里的属性闭包是在函数依赖集F下计算出来的。如果result中包含了β的所有属性，则函数依赖α→β。分解是保持依赖的当且仅当上述过程中F的所有依赖都被保持。

下面给出一个例题，2006年5月系分上午43题：

●设关系模式R<U, F>，其中U=｛A, B, C, D, E｝，F＝{A→BC，C→D，BC→E，E→A｝，则分解ρ={R1（ABCE），R2（CD）｝满足 （43） 。
（43） A．具有无损连接性、保持函数依赖
              B．不具有无损连接性、保持函数依赖
              C．具有无损连接性、不保持函数依赖
              D．不具有无损连接性、不保持函数依赖

先做无损链接的判断。R1∩R2={C}，计算C+。

Result=C
由于C→D，C∈result，所以result=result∪D=CD
可见C是R2的超码，该分解是一个无损分解。

再做保持依赖的判断。
A→BC，BC→E， E→A都在R1上成立（也就是说每一个函数依赖左右两边的属性都在R1中），C→D在R2上成立，因此给分解是保持依赖的。

选A。

再看一个复杂点的例题。2007年5月数工40-41题。

●给定关系模式R<U, F>，U=｛A, B, C, D, E｝，F＝{B→A，D→A，A→E，AC→B｝，其候选关键字为
（40） ，则分解ρ={R1（ABCE），R2（CD）｝满足 （41） 。
（40） A．ABD
              B．ABE
              C．ACD
              D．CD
（41） A．具有无损连接性、保持函数依赖
              B．不具有无损连接性、保持函数依赖
              C．具有无损连接性、不保持函数依赖
              D．不具有无损连接性、不保持函数依赖

看见了吧，和前面一题多么的相像！
对于第一问，分别计算ABCD四个选项的闭包，
（ABD）+ = { ABDE }
（ABE）+ = { ABE }
（ACD）+ = { ABCDE }
（CD）+ = { ABCDE }
选D。

再看第二问。
先做无损链接的判断。R1∩R2={C}，计算C+。

result=C
因此C既不是R1也不是R2的超码，该分解不具有无损分解性。

再做保持依赖的判断。
B→A，A→E，AC→B在R1上成立，D→A在R1和R2上都不成立，因此需做进一步判断。
由于B→A，A→E，AC→B都是被保持的（因为它们的元素都在R1中），因此我们要判断的是D→A是不是也被保持。

对于D→A应用算法二：
result=D
对R1，result∩R1=ф（空集，找不到空集的符号，就用这个表示吧），t=ф，result=D
再对R2，result∩R2=D，D+ =ADE ，t=D+ ∩R2=D，result=D
一个循环后result未发生变化，因此最后result=D，并未包含A，所以D→A未被保持，该分解不是保持依赖的。

选D。