多重背包问题 II（动态规划）

多重背包问题 II

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N≤1000
0<V≤2000
0<vi,wi,si≤2000

提示：

本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

解题思路：

N个物品，第 i 种物品最多有 si 件，所有物品按份划分后，可按照01背包问题求解

 

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

constexpr int N = 2010;

typedef struct {
    int volume;
    int weight;
} goods; // 物品(包含体积和价值)

int main() {
    int n = 0; // 物品个数
    int v = 0; // 背包容量
    std::cin >> n >> v; // 输入物品的个数和背包容量
    vector<goods> goodsList;
    goodsList.clear();
    vector<int> dp(N, 0);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int volume = 0;
        int weight = 0;
        int s = 0;
        std::cin >> volume >> weight >> s; // 输入每件物品的体积、价值和最大可选择个数
        // 物品分成log(s)份
        for (int k = 1; k <= s; k *= 2) {
            s -= k;
            goodsList.push_back({k * volume, k * weight});

        }
        // 如果物品分成log(s)份后还有剩余，剩下的物品凑成一份
        if (s > 0) {
            goodsList.push_back({s * volume, s * weight});
        }
    }
    // 按照01背包问题处理
    for (auto goods : goodsList) {
        for (int j = v; j >= goods.volume; j--) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - goods.volume] + goods.weight);
        }
    }
    std::cout << dp[v] << endl;
    return 0;
}