专题 组合数学中的一类问题 Twelvefold Way

概念解释

以下是整理的 Twelvefold Way 完整表格，优化了格式以确保清晰显示所有12种情况：

Twelvefold Way 系统分类表

（基于“将 \(n\) 个球放入 $ m $ 个盒子”的计数问题）

球状态	盒子状态	容量限制	计数公式/描述	数学对应
有标号	有标号	无限制	\(m^n\)	函数映射 \(N \to M\)
		每盒至多1球	$ P(m,n) = m^{\underline{n}} $	单射（排列）
		每盒至少1球	$ m! \cdot S(n,m) $	满射（斯特林数）
有标号	无标号	无限制	$\sum_{k=1}^{m} S(n,k) $	集合划分（允许空盒）
		每盒至多1球	\(\begin{cases} 1 & n \leq m \\ 0 & n>m \end{cases}\)	子集选择
		每盒至少1球	$ S(n,m) $	非空集合划分数
无标号	有标号	无限制	$ \binom{n+m-1}{n} $	星与棒法（非负整数解）
		每盒至多1球	$ \binom{m}{n} $	组合选择 ( $m \choose n $）
		每盒至少1球	$ \binom{n-1}{m-1} $	隔板法（正整数解）
无标号	无标号	无限制	$\sum_{k=1}^{m} p_k(n) $	整数划分数（盒数 \(\leq m\) ）
		每盒至多1球	\(\begin{cases} 1 & n \leq m \\ 0 & n>m \end{cases}\)	平凡分配
		每盒至少1球	$ p_m(n) $	整数划分数（恰 $ m $ 部分）

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关键说明

1. 符号定义：

   • $ S(n,m)$：第二类斯特林数（将 $ n $ 个有标号球划分为 $ m $ 个无标号非空盒的方案数）。
   • $ p_m(n) $：整数 $ n $ 拆分为 $ m $ 个正整数的划分数。
   • $ m^{\underline{n}} $：下降阶乘（ $ m \cdot (m-1) \cdots (m-n+1)$ ）。

2. 逻辑关联：

   • 满射对应“每盒至少一球”，确保盒子非空；
   • 单射对应“每盒至多一球”，避免重复分配。

3. 应用场景：

   • 组合数学（如分配问题、集合划分）；
   • 概率统计（如容斥原理中的计数）；
   • 算法设计（如哈希表冲突分析）。

至于基本的题目，目前还没有发现。等到做到了足够数量的题目，本文会重新更新的。