题解 luogu.P2054 [AHOI2005] 洗牌
题目
题意建模
规律非常难找的一道数学题，并且原有的题解并没有演绎推理地非常严谨。更严重的是，笔者也没有想出正解出来。所以查询资料，求助网络，整理各方来源，汇总得到了本文。
算法分析
这个规律的发现源自对洗牌操作的数学抽象和递推分析，具体过程如下：
一、单次洗牌操作建模
-
分情况观察位置变化
- 若牌在上半叠（位置 $ x \leq \frac{N}{2} $)：洗牌后新位置为 $2x $（直接翻倍）。
- 若牌在下半叠（位置 $ x > \frac{N}{2} $)：洗牌后新位置为 $ 2x - (N+1) $（翻倍后减去总叠数加1）。
示例（N=6）： - 位置1（上半）→ 新位置 $2 \times 1 = 2 $
- 位置4（下半）→ 新位置 \(2 \times 4 - 7 = 1\)
-
统一表达式
两类操作可合并为：\( f(x) = 2x \mod (N+1) \)- 当 $ x \leq \frac{N}{2}, 2x < N+1 $，模运算结果不变。
- 当 \(x > \frac{N}{2} , 2x > N+1\)，模运算等价于 \(2x - (N+1)\)。
这揭示了洗牌本质是模 \(N+1\) 意义下的线性变换。
二、多次操作递推规律
设初始位置为 $ i $，经过 $ m $ 次操作后位置为 $ L$：
-
递推关系
- 第1次：位置 $ \equiv 2i \mod (N+1) $
- 第2次：位置 \(\equiv 2 \times (2i) = 2 i \mod (N+1)\)
- ……
- 第 $ m $ 次：位置 $\equiv i \times 2^m \mod (N+1) $
即：\( i \times 2^m \equiv L \pmod{N+1} \)
该式建立了初始位置 $ i $ 与最终位置 $ L $ 的数学关系。
-
逆向求解
已知 $ L $ 求 $ i $ 时：
\( i \equiv L \times (2^m)^{-1} \pmod{N+1} \)
其中 \((2^m)^{-1}\) 是 $ 2^m $ 模 $ N+1 $ 的逆元（由扩展欧几里得算法求得）。
三、关键洞察：模运算的普适性
- 模 \(N+1\) 的合理性：洗牌过程中，牌的位置始终在 \(1\) 到 $ N $ 之间循环。模 $ N+1$ 能统一描述上下半叠的位置跳变（如 \(N=6\) 时，模 $ 7 $ 将 $ 7 $ 映射为 $ 0 $，但实际取正整数解）。
- 互质保证可逆：由于 $ N $ 为偶数，\(N+1\) 为奇数，与 \(2^m\) 互质，逆元恒存在，确保方程有唯一解。
四、验证示例（N=6, m=3）
- 初始位置 \(i=1\)：
- 操作1次：\(1 \times 2 = 2\)
- 操作2次：$ 2 \times 2 = 4$
- 操作3次：$ 4 \times 2 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$ → 符合 $ i \times 2^m \equiv 1 \times 8 \equiv 1 \pmod{7} $。
- 逆向求 $ i $（已知 $L=1 $)：
- 解 $ i \times 8 \equiv 1 \pmod{7}$ → $i \equiv 1 \times 8^{-1} \pmod{7} $ ，\(8^{-1} \equiv 1\)（因 $ 8 \equiv 1 \pmod{7}$)，得 $ i=1 $。
此规律通过分步抽象、递推和模运算统一性得出，最终转化为数论问题求解。
下面我们来看代码。具体的代码细节会放在后面，本模块只是探讨这个算法的灵感是怎么来的。
参考代码
#include<iostream>
#define int long long
#define rei register int
using namespace std;
int n,m,l;
inline int mul(int x,int y)
{
int ans=0;
while(y)
{
if(y&1) (ans+=x)%=(n+1);
(x+=x)%=(n+1);
y>>=1;
}
return ans;
}
inline int fpow(int x,int y)
{
int ans=1;
while(y)
{
if(y&1) ans=mul(ans,x)%(n+1);
x=mul(x,x)%(n+1);
y>>=1;
}
return ans;
}
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
int gcd;
if(!b) { x=1,y=0; return gcd=a; }
gcd=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return gcd;
}
signed main()
{
cin>>n>>m>>l;
int x,y;
int gcd=exgcd(2,n+1,x,y);
//x=(x*(l/gcd)%(n+1))%(n+1);
x=(x%(n+1)+(n+1))%(n+1);
x=fpow(x,m);
cout<<mul(l,x)%(n+1)<<endl;
return 0;
}
细节实现
- 数据范围过大，所以要用龟速乘；
- 求解出来的方程记得调整解的大小；
- 最后一次输出的答案，是 \(L \times x\),这个还是比较有细节的。
总结归纳
问了下 AI,有如下的回答，针对于我的问题：
处理这类“找规律”的题目（如洛谷P2054洗牌问题）确实容易迷惑，但通过系统的方法可以高效解决。核心策略是结合小规模实验、数学建模和工具应用，以下步骤可帮助你逐步推导规律并求解：
-
从小规模数据手动模拟入手
先取小样例（如 \(n=4\) 或 \(6\)），手动模拟操作过程，记录每次变化后各元素的位置。例如，在洗牌问题中，初始序列[1,2,3,4]一次洗牌后变为[3,1,4,2]，二次变为[4,3,2,1]等。这能直观暴露位置变化模式（如上/下半叠牌的移动规律）。- 关键：观察每个元素位置的递推关系。比如洗牌中，位置x的新位置总满足\(2x \mod (n+1)\)。
-
抽象数学关系并建立模型
基于模拟结果，将操作转化为数学公式：- 定义状态变量（如初始位置 \(i\)，操作次数 \(m\)，目标位置 \(L\)）。
- 推导递推方程。例如洗牌 \(m\) 次后，规律为 \(i \times 2^m \equiv L \pmod{n+1}\)。
- 检查模式普适性：验证多个样例是否一致，确保模型覆盖边界情况（如 \(n\) 为偶数）。
-
应用数学工具求解
将模型转为可解形式：- 同余方程处理：如 \(i \times k \equiv L \pmod{P}\)（其中 \(k = 2^m\)，\(P = n+1\)），需解出 \(i\)。
- 工具选择：
- 快速幂计算 \(k\)（因 \(m\) 可能极大）。
- 扩展欧几里得算法求逆元（如解 \(k \cdot x \equiv 1 \pmod{P}\)）。
- 注意模数性质（如 \(P\) 为奇数时，\(2\) 的逆元可简化）。
- 复杂度优化：避免暴力模拟，优先数学方法（如逆元代替迭代）。
-
验证与调试
- 代入验证：用已知小样例测试公式结果（如 \(n=6, m=2, L=3\) 对应\(i=6\)）。
- 周期性检查：若操作有循环性（如洗牌后序列周期性复原），可直接用 $ m \mod \text{周期}$ 简化计算。
- 边界处理：确保结果为最小正整数（如负数解调整：\(x = (x \% P + P) \% P\)）。
以洗牌问题为例：
- 手动模拟发现位置变换为 \(x \to 2x \mod (n+1\))。
- 建模得 \(i \times 2^m \equiv L \pmod{n+1}\)，求逆元解出 \(i\)。
- 最终用快速幂+扩展欧几里得实现高效求解。
总结：系统处理的核心是“实验→抽象→工具→验证”。掌握模运算、逆元和快速幂等工具能应对多数找规律题，重点是多练习小规模推导以避免迷惑。
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