题解 luogu.P2421 [NOI2002] 荒岛野人

题目

luogu.P2421 [NOI2002] 荒岛野人
一道比较有意思的题，主要是有一些细节的错误犯了。再者就是这个题型比较经典，所以拿来稍做分析。

题意建模

原题转化过来就是判断一个同余方程是否有解，也就是如下的：

\(C_{i}+y·P_{i} \equiv C_{j}+y·P_{j}\ (\mod m\ ), i,j \in [1,n]\)

其中，我们的任务是找到一个最小的 \(m\)，使得上面的同余方程无解。

注意，这里的无解指的是：

• 方程无解；
• \(y\le \min(L_{i},L_{j})\)

所以需要设计一个判断的 check 函数。

我们看代码。

算法分析

这就不用分析了吧，题意非常明显了吧。

参考代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=20;
int n,c[N],p[N],l[N];
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	int gcd; 
	if(!b) { x=1,y=0; return a; }
	gcd=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return gcd;
}
inline bool check(int m)
{//true为可行解，false为不可行解 
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
		{
			int x,y;
			int a=m,b=p[j]-p[i],d=c[i]-c[j];
			int gcd=exgcd(a,b,x,y);
			if(d%gcd) continue;
			a/=gcd, b/=gcd, d/=gcd;
			if(a<0) a=-a;
			y=(y*d%a+a)%a;
			if(y<=min(l[i],l[j])) return false;
		}
	return true;
}
int main()
{
	cin>>n;
	int M=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) 
	{
		cin>>c[i]>>p[i]>>l[i];
		M=max(c[i],M);
	}
	for(int i=M;;i++)
		if(check(i))
		{
			cout<<i<<'\n';
			return 0;
		}
	return 0;
}

细节实现

自己敲着个代码的时候，突发奇想，把这个非常冒险的枚举（依赖 check 函数返回值的循环手动改写了一下），结果就爆掉了。手动模拟了一下，但还是没有想出来哪里有问题。所以这边就去查了一下资料。

for(int i=M;;i++)
	if(check(i))
	{
		cout<<i<<'\n';
		return 0;
	}

while(M++)
	if(check(M))
	{
		cout<<M<<'\n';
		return 0;
	}

这两段代码最终输出的 M 值不同，主要区别在于循环变量的递增时机和条件判断逻辑：

1. for 循环版本

   • 执行顺序：i=M → check(i) → i++ → check(i)...
   • 先检查当前值再递增：每次循环时先判断 i 的当前值是否满足条件，再执行 i++。
   • 若 check(M) 为真，直接输出 M 并终止，不会执行 i++。

2. while 循环版本

   • 执行顺序：check(M) → M++ → check(M)...
   • 先递增再检查：while(M++) 会在判断条件时先执行 M++，再检查 check(M-1) 的结果。
   • 若 check(M) 为真，实际输出的是 M+1（因为 M++ 已先执行）。

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关键差异总结

循环类型	检查的值	递增时机	输出结果
for	当前 i	循环体结束后	首次满足条件的 i
while	M++ 后的新值	条件判断时即递增	首次满足条件的 M+1

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等效改写建议

若需两者输出相同结果，可调整 while 循环为：

while(true) {
    if(check(M)) {
        cout << M << '\n';
        break;
    }
    M++;
}

此时逻辑与 for 循环完全一致。

总结归纳

就这样吧。笔者想说的说完了