题解 luogu.P6218 [USACO06NOV] Round Numbers S

题目

luogu.P6218 [USACO06NOV] Round Numbers S

题意建模

DP裸题，进一步熟练思路。

算法分析

声明变量

\(limit\)：当前位能否取到最大值（此题中的 \(1\)，\(10\) 进制中就是能否取到 \(9\)）；

\(lead\)：当前位是否是前导 \(0\)；

\(pos\)：当前是从前向后的第 \(pos\) 位。

\(cnt\)：\(0\) 比 \(1\) 多多少。由于可能出现负数，统统加上了 \(520\)；

\(dp(pos,cnt)\)：记忆化数组，记录没有限制且没有前导 \(0\) 时的情况是否搜索过，并记录搜索结果。

具体的算法流程

• 首先读入数据，转化成二进制存储；

• 运行DFS函数，从高位逐位往下搜索，遇到特定的情况就缓存答案；

• 如果当前的状态没有绝对约束，也即是一个完整的局面，并且已然缓存过答案，我们就把答案直接返回；不然，就把答案先缓存，再返回。

• 考虑搜索的细节，由于是要比较 \(0\) 和 \(1\) 的个数，所以需要维护这两个变量。考虑记录一个变量，首先想到的是 bool 类型的，用于返回当前的搜索分支中是否存在符合条件的解；但是很快就会发现，这样行不通。

• 为什么？自然是因为两个需要维护的数量是在不断地动态变化的，bool 的功能不足以支撑起维护这些数据，所以想到开一个 int 的变量维护。具体实现结合代码与细节研讨

时间复杂度的分析

复杂度如何保证？当 \(limit\) 是 \(1\) 或者 \(lead\) 是 \(1\) 的时候并没有记忆化，那么如何保证复杂度？为了让 \(limit\) 是 \(1\)，每一位都得顶位，只有 \(len\) 种情况；如果让 \(lead\) 是 \(1\)，那么每一位都得是 \(1\)，也只有 \(len\) 种情况。因此，只有极少数情况未被记忆化，复杂度保障在 \(O(len^{2})\)
的水平。

参考代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#define int long long
using namespace std;
const int N=35;
int dp[N][N*9];
int num[N];
int dfs(int pos,int cnt,bool lead,bool limit)
{
	if(!pos) return cnt>=520;
	if(!limit && !lead && dp[pos][cnt]!=-1) return dp[pos][cnt];
	int top=limit?num[pos]:1,ans=0;
	for(int i=0;i<=top;i++) ans+=dfs(pos-1,cnt+(i==0?(lead?0:1):-1),lead&&i==0,limit&&i==top);
	if(!limit && !lead) dp[pos][cnt]=ans;
	return ans;
} 
int solve(int x)
{
	int idx=0;
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	while(x) num[++idx]=x%2,x>>=1;
	return dfs(idx,520,true,true);
}
signed main()
{
	int l,r; cin>>l>>r;
	cout<<solve(r)-solve(l-1)<<endl;
	return 0;
} 

细节实现

细节代码的处理

• 如果当前所有位搜索完毕，\(0\) 比 \(1\) 多（差值大于 \(0\)）返回 \(1\)，否则返回 \(0\)。
  if(pos==0) return cnt>=30;

• 如果当前没有特殊限制并且已经搜索过了，直接返回。
  if(!limit&&!lead&&dp[pos][cnt]) return dp[pos][cnt];

• 当前位能去到的最大值。有限制那么就是原数中的 \(pos\) 位，没有限制也只能取到 \(1\).
  int top=limit?a[pos]:1;

• 如果之前都有限制且这一位也顶上了位，那么 \(limit\) 也是 \(1\)；如果之前都是前导 \(0\) 且这一位还是 \(0\)，那么这一位还是前导 \(0\)；位置就往下一位搜；计算新差值（前导 \(0\) 统统不算）。
  ans+=dfs(pos-1,cnt+(i==0?(lead?0:1):-1),limit&&i==top, lead&&i==0);

• 当前不是特殊情况，那么就记忆下来。注意，我们记忆化缓存下来的只有是一个完整而且无后效性，没有绝对约束的状态，否则不值得也不应该记录下来。
  if(!limit&&!lead) vis[pos][cha]=1, f[pos][cha]=res;

总结归纳

感谢@__Watcher 提供的代码与细节的分析，受益匪浅。
萍水相逢，祝前途顺遂！！！