题解 luogu.P1879 [USACO06NOV] Corn Fields G

题目

luogu.P1879 [USACO06NOV] Corn Fields G

本题是一道状压DP的经典好题。由于初学，不是很熟，所以研究需较为深入。

题意建模

序言

本题与笔者所写的另一篇题解所研究的题目有相似之处：
题解 luogu.P1896 [SCOI2005] 互不侵犯
本质上都是基于连通性的DP，换句话说，由于上一题太过出名，这类题型又称棋盘类状压DP。
我们来看一下本题的做法。

建模

观察数据范围，很显然，要状压；又因为状态的表示是 bool 类型，考虑使用0/1表示状态。

算法分析

状态定义

\(f(i,j)\) 表示当前处理到第 \(i\) 行，第 \(j\) 个状态所合计的方案数。

状态转移

\(f(i,j)= \sum_{j\in i,k\in i-1 } f(i-1,k)\)
这里阶段划分很明显，所以不拿出来细讲，显然是以行为状阶段转移，所以当前行的方案数累加上上一行的就可以。

边界情况与合法判断

这类似与搜索剪枝，所以除了状态定义之外，这一步是最关键的，也是最难的。我们先看边界情况。

边界情况

首先，都从1开始存储信息，所以为了保持代码风格一致以及逻辑的连贯性，我们定义状态的边界也从1开始。所以应有：dp[0][1]=1。这个的实际意义是：什么都不做处理，也算一种方案。

合法判断

• 相邻行内，不能存在相邻的草地，即：!(x&y) && (x&g[x])==x必须为真。
• 同一行内，不能存在相邻的草地。即：!(i&i<<1)必须为真。

这样，代码的大体框架就出来了。

参考代码

#include<iostream>
#define int long long
using namespace std;
const int N=15,mod=1e8;
int n,m,dp[N][1<<N];
int s[1<<N],g[N],cnt;
signed main()
{
	cin>>n>>m;
	int all=(1<<m)-1;//同一行的总状态数
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			int x; cin>>x;
			g[i]=(g[i]<<1)+x;//统计地图
		}
	for(int i=0;i<=all;i++)	
		if(!(i&i<<1))
			s[++cnt]=i;//统计合法的情况（行内）
	dp[0][1]=1;		
	for(int i=1;i<=n+1;i++)
		for(int j=1;j<=cnt;j++)
			if((s[j]&g[i])==s[j])//行间合法
				for(int k=1;k<=cnt;k++)
					if(!(s[k]&s[j]))//同上，但是分开写效率更高
						(dp[i][j]+=dp[i-1][k])%=mod;
	cout<<dp[n+1][1];
	//多存一行，这样枚举到n+1的时候，所有状态都已枚举完毕，这等效于最后单独统计答案。				
	return 0;
}

细节实现

好，我们关注几个细节。

• 首先，这个题读入有坑。
• 其次，数组的大小记得开够，最好是能多出3~5个单元，不然越界差错非常困难
• 最重要的是，关注边界条件，下标和循环的范围是有着状态的实际含义的。

总结归纳

多积累经验，多做经典题，多思考好题，多总结，多提升。