专题 树上问题之树的直径&好题精析

概念解释

引言

        作为洛谷上面相同的两道题，虽然很有难度，但是却的确很适合拿来说明树上的直径这一方面的有趣的内容。但是在这之前，我们还是先说明一下相关的概念。

定义

        我们将一棵树  的直径定义为，也就是说，树中所有最短路径距离的最大值即为树的直径。

        这时当有如下疑问：

• 为什么树的定义类似于图？（的形式）
• 什么是树上最短路径的最大值？
• 如何去求解？

        以下笔者将一一回答。

性质

        首先是关于这类问题的一个看法。在笔者看来，部分参考资料和论文将这一类树上问题归类于“高级数据结构”的范畴，其实道理很简单：因为是树。但是这一类的树问题（遍存储历、树链剖分、LCA、重心等）凸显的更像是图论的算法：强大的建模意识，抽象的逻辑思维；而并不具有数据结构具有“增删求查”的鲜明特性。

        所以依据对于第一个问题的回答：由树的性质可知，具有个节点的树，一定具有 条边；从依赖关系的角度看，树实际上介于线性结构（一个前驱（父亲） 一个后驱（儿子））和图之间（一或多个前驱（父亲） 一或多个后驱（儿子））。归根结底：树可以看成是一种特殊的图。

        什么是树上最短路径的最大值？先回答最短路径。定义：对于节点,，两者之间的路径长度为这两点路径所经树上边的权值之和。全局最大，即为直径。有这个，显然有以下几个平凡的结论：

• 性质1.树中距离最远的两个点所在的简单路径就是树的直径。这又称为树的直径的定义；
• 性质2.树中的最长链就是树的直径。
• 性质3.树的直径不一定是唯一的，但是直径的权值和是唯一的。这个很好理解，有不一样长的（无论是长还是短）都不能称作直径。

        如何去求解？还是继续