【数学笔记】浅谈数列

【数学笔记】浅谈数列

我们可知高斯公式：

\[\sum_{i=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \]

考虑推导它。我们可以瞪眼法发现首项加末项等于第二项加倒数第二项，以此类推。

也可以运用数形结合，这里不再赘述。

当然也可以使用构造方法：

构造策略 把数列中的每一项化为两项之差的形式。

\[\begin{align*} n &= \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n-1)}{2} \ (1) \\ n-1 &= \frac{n(n-1)}{2} - \frac{(n-1)(n-2)}{2} \ (2) \end{align*} \]

我们能够发现，\((2)\) 式其实就是把 \((1)\) 式中的 \(n\) 换成 \(n-1\) 得来的。

以此类推：

\[\begin{align*} n-2 &= \frac{(n-1)(n-2)}{2} - \frac{(n-2)(n-3)}{2} \\ n-3 &= \frac{(n-2)(n-3)}{2} - \frac{(n-3)(n-4)}{2} \\ \cdots \\ 2&=\frac{2 \times 3}{2} - \frac{2 \times 1}{2}\\ 1&=\frac{1 \times 2}{2} - 0 \end{align*} \]

将其相加，发现中间项抵消，只留 \(\frac{n(n+1)}{2}\)。

所以我们就证明了高斯公式。

【例 1】求：

\[\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+ \cdots +\frac{1}{2^n} \]

常规做法：令:

\[S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+ \cdots +\frac{1}{2^n} \ (1) \]

则：

\[\frac{1}{2}S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+ \cdots +\frac{1}{2^{n+1}} \ (2) \]

\((1)-(2)\)，得：

\[\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}} \]

系数化为 \(1\) 得：

\[S=2 \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}} \right)=1 - \frac{1}{2^n} \]

我们运用刚刚的构造策略：

\[\begin{align*} \frac{1}{2^n} &= \frac{1}{2^{n-1}} - \frac{1}{2^n} \\ \frac{1}{2^{n-1}} &= \frac{1}{2^{n-2}} - \frac{1}{2^{n-1}} \\ \cdots \\ \frac{1}{2} &= 1 - \frac{1}{2} \end{align*} \]

所以最后只剩 \(1\) 和 \(-\frac{1}{2^n}\)，即：

\[\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+ \cdots +\frac{1}{2^n}=1 - \frac{1}{2^n} \]

我们可知裂项求和公式：

\[\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \cdots \frac{1}{n(n+1)}= \left( 1-\frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right) + \cdots \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1} \]

【例 2】求：

\[\frac{1}{1 \times 2 \times 3}+\frac{1}{2 \times 3 \times 4} + \cdots +\frac{1}{n(n+1)(n+2)} \]

有两种方法。

考虑通项 \(\frac{1}{n(n+1)(n+2)}\) 的构造。

【方法 1】

\[\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n} \left( \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) = \frac{1}{n} \left( \frac{1}{(n+1)}-\frac{1}{(n+2)}\right)= \frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{n(n+2)} \]

所以：

\[\begin{align*} \frac{1}{1 \times 2 \times 3}+\frac{1}{2 \times 3 \times 4} + \cdots +\frac{1}{n(n+1)(n+2)} &= \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \cdots \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{2 \times 4} + \cdots \frac{1}{n(n+2)} \right)\\ &= \left( 1-\frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right) + \cdots \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) - \frac{1}{2} \left[\left( 1-\frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{4} \right) + \cdots \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+2} \right) \right] \\ &= 1-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)\\ &= \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)} \end{align*} \]

【方法 2】

\[\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1} \left( \frac{1}{(n)(n+2)}\right)= \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{2}\left( \frac{1}{(n)}-\frac{1}{(n+2)}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) \]

所以：

\[\begin{align*} \frac{1}{1 \times 2 \times 3}+\frac{1}{2 \times 3 \times 4} + \cdots +\frac{1}{n(n+1)(n+2)} &= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3}\right) + \left( \frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4}\right) + \cdots + \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) \right] \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)\\ &= \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)} \end{align*} \]

【例 3】求：

\[\frac{3}{1 \times 2 \times 3} + \frac{5}{2 \times 3 \times 4} + \cdots +\frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)} \]

同理，考虑 \(\frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}\) 的构造。

\[\frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}= \frac{1}{n+1} \left[ \frac{2n+1}{n(n+2)}\right]= \frac{1}{n+1} \left[ \frac{2}{(n+2)} + \frac{1}{n(n+2)}\right]=\frac{2}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{n(n+1)(n+2)} \]

我们这时就将 【例 3】 转换成了 【例 2】 中的结论。

所以：

\[\begin{align*} \frac{3}{1 \times 2 \times 3} + \frac{5}{2 \times 3 \times 4} + \cdots +\frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)} &= 2 \left(\frac{1}{2} -\frac{1}{n+2} \right) + \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\\ &= 1-\frac{2}{n+2}+ \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\\ &= \frac{5^2+7n}{4(n+1)(n+2)}\\ &= \frac{n(5n+7)}{4(n+1)(n+2)} \end{align*} \]

实在不能展开了。。。。。