题解：P13685 【MX-X16-T3】「DLESS-3」XOR and Impossible Problem

题解：P13685 【MX-X16-T3】「DLESS-3」XOR and Impossible Problem

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题目思路

求：

\[\prod_{i=1}^n\prod_{j=i+1}^n(a_i\oplus a_j) \bmod 2^{64} \]

令 \(A=\{a_i| \bmod 2=1\}\)，\(B=\{a_i|1 \bmod 2=0\}\)，用 \(f(a)\) 表示 \(\prod_{i=1}^n\prod_{j=i+1}^n(a_i\oplus a_j)\) 中因子 \(2\) 的最小数量。数的总数为 \(|a|\)。

根据异或的性质，\(A\) 和 \(B\) 中任意两个数异或一定含有因子 \(2\)。考虑确定一个界，在此情况下 \(|A|+|B|\) 为最小值且此时 \(f(a) \ge 64\)。当 \(f(a) > 64\) 时，\(\prod_{i=1}^n\prod_{j=i+1}^n(a_i\oplus a_j) \bmod 2^{64} \equiv 0 \pmod{2^{64}}\)。直接输出 \(0\) 即可。我们可得：

\[\min_a f(a)= \binom{|A|}{2} +\binom{|B|}{2}=\frac{|A|(|A|-1)}{2}+\frac{|B|(|B|-1)}{2} \]

当 \(|A|=8,|B|=9\) 时：

\[\min_a f(a)= \binom{|A|}{2} +\binom{|B|}{2}=\binom{8}{2} + \binom{9}{2}= 64 \]

综上，\(|a| <17\) 时，\(f(a)<64\)。$|a| \ge 17 $ 时，\(f(a) \ge 64\)。

故答案为：

\[\prod_{i=1}^n\prod_{j=i+1}^n(a_i\oplus a_j) \bmod 2^{64} = \begin{cases} 0 & \text{if } |a| \ge 17 \\ \prod_{i=1}^n\prod_{j=i+1}^n(a_i\oplus a_j) \bmod 2^{64} & \text{if } |a| < 17 \end{cases} \]

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long LL;
const int N=1e6+10;
ll T,n;
LL a[N],b;
int main() {
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>n;
        if(n>=17){
            for(int i=0;i<n;i++) cin>>b;
            cout<<"0\n";
        } 
		else{
            for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];
            LL ans=1;
            for(int i=0;i<n;i++){
                for(int j=i+1;j<n;j++){
                    ans=ans*(a[i]^a[j]);
                }
            }
            cout<<ans<<"\n";
        }
    }
    return 0;
}