题解：P1044 [NOIP 2003 普及组] 栈

题解：P1044 [NOIP 2003 普及组] 栈

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• 直接按照卡特兰数做即可，但是考虑证明。

前置知识

• 卡特兰数：组合数学中一种常出现于各种计数问题中的数列。它的前几项为：

\[C(0)=1,C(1)=1,C(2)=2,C(3)=5,C(4)=14,C(5)=42 \]

题目思路

• 不妨设第一个入栈的元素是第 \(k\) 个出栈的元素，则前面的元素 \(1 \sim k-1\) 必须在 \(k\) 前完成出入栈。则方案数为 \(C(k-1)\)；
• 则后面的数 \(k \sim n\) 有 \(C(n-k)\) 种方案。总的方案数为 \(C(k-1) \cdot C(n-k)\)。
• 可以把样例代入证明：
  • 当 \(k=1\) 时，有 \(C(0) \cdot C(2)=2\)；
  • 当 \(k=2\) 时，有 \(C(1) \cdot C(1)=1\)；
  • 当 \(k=3\) 时，有 \(C(2) \cdot C(0)=2\)；
  • 因此总方案为 \(2+1+2=5\)。
• 综上，答案为：
  \[C(n)=\sum _{k=1}^{n} C(k−1) \cdot C(n−k) \]

• 将其化为：
  \[C(n)=\frac{2(2n−1)}{n+1} \cdot C(n−1) \]

于是我们可以推出卡特兰数列的前 \(18\) 项，然后根据 \(n\) 输出即可。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100;
ll n,sum[N];
int main() {
    cin>>n;
    sum[1]=1;
    for(int i=2;i<=18;i++){
        sum[i]=sum[i-1]*2*(2*i-1)/(i+1);
        //cout<<sum[i]<<"\n";
    }
    cout<<sum[n];
    return 0;
}