[CSP 三十联测] 来者守护 solution

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官方思路感觉属实逆天。

题目描述

• 浮游城上共有 \(N\) 个种族，第 \(i\) 个种族的军队人数为 \(2^{a_i}\)，且对任意 \(z\)，最多只能找到两个种族 \(i,j\)，满足 \(a_i=a_j=z\)。令 \(k=max\{a_i\}\)，未来公主想知道一共有多少种方法组合出一支人数为 \(2^{k+1}\) 的队伍（不需要用到所有种族）。
• 一个数字表示方案数，由于答案可能很大，答案对 \(998244353\) 取模。

题目思路

首先排序。
注意对于任意 \(z\)，最多只能找到两个种族 \(i,j\)，满足 \({a_i=a_j=z} ^{[1]}\)。这是解题的关键。
由题意，对于一组相邻的 \(a_i,a_{i-1}\) 我们可以得出 \(3\) 种情况：

• \(a_i=a_{i-1}\)。对于这一种情况，显然对 \(2^{k+1}\) 有贡献，并且因为 \([1]\)，所以他们即使相等，也是来自不同的种族。因此就有 \(2\) 种情况，及选择 \(a_{i-1}\) 或选择 \(a_{i}\)。
• \(a_{i}-a_{i-1}=1\)。对于这种情况，仍然对 \(2^{k+1}\) 贡献 \(1\)，即他们的差值。
• \(a_{i}-a_{i-1}>1\)。对于这种情况，对 \(2^{k+1}\) 没有贡献，因为他们的差值为负。因此我们要从后往前进行查找每一组 \(a_i,a_{i-1}\)，否则如果从前往后，差值就变成正的了。

但是我们还需要注意一个非常重要的点：
假如我们统计到了 \(sum\) 个 \(a_i=a_{i-1}\)，那么只能有 \(sum-1\) 组有两种情况，剩下一种只能有一种情况，证明如下：

• 当 \(a_i=a_{i-1}=k=max\{a_i\}\) 时，它的贡献为 \(2 \cdot 2^{a_i}\)，即 \(2 \cdot 2^{k}=2^{k+1}\)（此时 \(a_i,a_{i-1}\) 为最大值）。所以当只有一组 \(a_i,a_{i-1}\) 时，显然有且只有 \(2^{a_i+1} \le 2^{k+1}\)。所以只有这一种情况。

所以，最后的答案为 \(2^{sum-1}\)。
因此，我们可以定义一个 \(sum\) 数组，从 \(sum[1]\) 累加到 \(sum[sum-1]\)，然后对 \(998244353\) 取模即可。

复杂度 \(O(n \log n)\)。Code