时间复杂度和空间复杂度

时间复杂度

• 用大 \(O\) 表示。
• 去掉系数和常数，如果有两个常数项，择取最大值。如：

\[F(N)=2*N+N^2+10=O(N^2) \]

\[F(N)=a+b=O(max(a,b)) \]

• 在现实中，一般用程序运行的最坏情况来计时间复杂度。
• 另外，如果程序的运行次数是一个常数（与 \(n\) 无关），那记为 \(O(1)\) .
• 在时间复杂为 \(O(\log_xN)\) 时，当底数 \(x\) 为常数时，表达式可省略成 \(O(\log N)\) .
• 二分查找时间复杂度推导：
  • 设 \(\mathrm{begin=1,ned=}\ N\) ，则在最坏情况下，要查找到 \(\mathrm{begin=end}\) 时结束。设要查找的数始终在 \(\mathrm{mid}\) 前面。所以(设除了 \(x\) 个 \(2\) )：
    \[N/2/2/2/2/.../2=1(\mathrm{begin=end}) \]
    \[2^x=N \]
    \[x=\log_2N \]
    所以二分查找的时间复杂度为：
    \[O(\log N) \]

• 调和级数的时间复杂度为 \(O(n\ \log N)\) ;
• 全排列函数的时间复杂度为 \(O(n!)\) ;
• 二进制拆分的时间复杂度是 \(𝑂(𝑙𝑜𝑔 \ 𝑛)\)

\(O(1)\)	\(O(n)\)	\(O(n \log\ n)\)	\(O(n^2)\)	\(O(n!)\)	\(O(n\sqrt n)\)
无敌	\(1e7\)	\(1e6-5e6\)	\(5000\)	\(13\)	\(1e5\)