CF1862D 题解

洛谷传送门 & CF 传送门

思路

首先我们来讨论一下最优策略。我们设最终的数字有 $x$ 种，则这 $x$ 种数字每种一个能组成 $x\times(x-1)\div2$ 个二元组。最优策略就是用贪心的思路，我们肯定是在 $x\times(x-1)\div2\le n$ 的情况下，让 $x$ 尽量大，毕竟种数多增长才快。但题目要求正好要 $n$ 个二元组，那剩下的 $n-x\times(x-1)\div2$ 是哪里来的呢？自然是有相同数字。如果有两个相同数字，只会增加一对二元组，而如果有更多个相同数字则不会再增加，所以对于每个数字，我们最多只会有两个相同数字，所以答案就是原先的 $x$ 个再加上剩下的重复数字个数 $n-x\times(x-1)\div2$ 了。

我们还要计算 $x$。直接从 $1$ 开始枚举 $x$，直到不满足 $x\times(x-1)\div2\le n$ 的时候才结束循环的方法肯定会超时，所以我们可以二分答案。

二分的右边界不能直接定 $n$，因为 $n\le10^{18}$，如果直接定 $n$ 的话二分 check 的时候 $mid\times(mid-1)\div2$ 会爆 long long，所以可以使用样例给的最大答案 $2648956421$。

代码

# include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll; //不开 ll 见祖宗
using namespace std;
ll t, n, ans, m, l, r, mid;
ll f () {
	cin >> n;
	m = n * 2;
	ans = l = 2, r = 2648956421;
	while (l <= r) { //二分
		mid = l + r >> 1;
		if (mid * (mid - 1) > m)
			r = mid - 1;
		else
			l = mid + 1, ans = mid;
	}
	return ans + n - ans * (ans - 1) / 2;
}
int main () {
	cin >> t;
	while (t --)
		cout << f () << '\n';
	return 0;
}