CF1872D 题解

洛谷传送门 & CF 传送门

思路

我们设 $a=p_x+p_{2x}+p_{3x}+\ldots+p_{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor\cdot x}$，设 $alen=\lfloor\frac{n}{x}\rfloor$；设 $b=p_{y}+p_{2y}+\ldots+p_{\lfloor\frac{n}{y}\rfloor\cdot y}$，设 $blen=\lfloor\frac{n}{y}\rfloor$；设 $g$ 为 $a$ 和 $b$ 中的公共部分，设 $glen=\frac n{\operatorname{lcm}(x,y)}$。去掉公共部分的 $glen$ 个元素，$alen$ 变成了 $alen-glen$，$blen$ 就变成了 $blen-glen$。我们要让 $a-b$ 最大，则要把 $a$ 设为最大的 $n\sim(n-alen+1)$ 最小，$b$ 设为最小的 $1\sim(n-blen)$，$g$ 部分随便设。根据等差数列求和公式，$a$ 的总和是 $\frac{(n\times2-alen+1)\times alen}2$，$b$ 的总和是 $\frac{(blen+1)\times blen}2$，答案就是 $\frac{(n\times2-alen+1)\times alen-(blen+1)\times blen}2$。记得开 long long。

代码

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll; //不开 long long 见祖宗
ll t, a, b, g, n;
int main () {
	cin >> t;
	while (t --) {
		cin >> n >> a >> b;
		g = a * b / __gcd (a, b); //lcm
		a = n / a, b = n / b, g = n / g; //算个数
		a -= g, b -= g; //减重复部分
		cout << ((n * 2 - a + 1) * a - (b + 1) * b) / 2 << '\n';
	}
	return 0;
}