CF229C 题解

思路

对于每个 $u,v(1\le u,v\le n)$，它们之间一定有一条边，可能在原图上，也可能在另一个平面。然后如果要构成三角形，这三点 $a,b,c$ 必须互相连通，也相当于不能有 $mp_{a,b}+mp_{b,c}+mp_{a,c}\ne3,0$（$mp_{i,j}$ 表示 $i$ 和 $j$ 在原图上是否有边相连）。这也就说明对于 $a,b,c$ 三个点，有两个点是有且仅有一条边与其余两个点相连，设 $s_i$ 表示有 $s_i$ 条边与 $i$ 点不相连，则 $n-1-s_i$ 条边与 $i$ 相连（因为原先是完全图，每个点有 $n-1$ 条边），根据乘法原理，有 $s_i\times(n-1-s_i)$ 种方案，但因为会重复算两次，所以在加和后要把得数除以 $2$。然后完全图原先有 $C_n^3$ 种选法，去除不合法的就是 $C_n^3-\sum\limits_{i=1}^n s_i\times(n-1-s_i)$ 个三角形。

代码

# include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
int n, m, x, y, a[1000005];
ll sum;
int main () {
	ios::sync_with_stdio (0);
	cin.tie (0);
	cout.tie (0);
	cin >> n >> m;
	while (m --)
		cin >> x >> y, ++ a[x], ++ a[y];
	for (int i = 1; i <= n; ++ i)
		sum += a[i] * (n - 1 - a[i]);
	sum = n * (n - 1ll) * (n - 2) / 6 - sum / 2;
	cout << sum;
	return 0;
}