学习笔记 莫比乌斯反演简单整理
写在卸载之前
正在数论只会抄题解的道路上越行越远
正式开始
1.迪利克雷卷积
1)定义新运算\(*\)
注意这里\(*\)不是乘法
\(h,f,g\)都是函数名称
定义 \(h=f*g\)
\[h=f*g=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}f(\frac{n}{d})g(d)
\]
2)介绍几个函数
\(a(x)\):对于任意\(x\) 都有\(a(x)=1\)
\(b(x)\):对于任意\(x\) 都有\(b(x)=x\)
\(e(x)\):也被称之为单位元函数 对于任意\(x\) 都有\(e(x)=[x=1]\)
乘法存在逆元 迪利克雷卷积也存在逆元
3)逆元
如果对于函数\(f\)存在
\[f*g=e
\]
那么我们就认为g为f的逆元
2.莫比乌斯反演
首先介绍一个函数 莫比乌斯函数\(μ\)
ta是\(a(x)=1\)函数的逆元
也就是$$μ*a=e$$
我们使用迪利克雷卷积$$μ*a=\sum_{d|n}μ(d)a(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}μ(d)=[n=1]$$
我们可以发现 μ的取值就是
\[μ(n)=\begin{cases}
1,n=1\\
0,存在一个平方数是n的因子\\
(-1)^m,n存在m个质因子\\
\end{cases}
\]
当然 \(μ\)也是一个积性函数
可以使用线性筛求解
int mul[N],prime[N];
bool mark[N];
mul[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i)
{
if(!mark[i]) {prime[++tot]=i;mul[i]=-1;}
for(int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=n;++j)
{
mark[prime[j]*i]=1;
if(i%prime[j]==0)
{
mul[prime[j]*i]=0;
break;
}
else mul[prime[j]*i]=-mul[i];
}
}
我们接下来来具体化一个式子
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}μ(d)
\]
先枚举了i 再枚举i的所有约数 等于先枚举d再枚举[1,n]范围内的所有倍数
等价于$$\sum_{d=1}^{n}\lfloor{\frac{n}{d}}\rfloorμ(d)$$
从而我们得到了两个结论
\[\sum_{d|n}μ(n)=[n=1]
\]
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}μ(d)=\sum_{d=1}^n\lfloor{\frac{n}{d}}\rfloorμ(d)
\]
我们再来看看这个式子
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=1]
\]
我们使用结论1
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d|gcd(i,j)}μ(d)\\ =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d|i}\sum_{d|j}μ(d)\\ =\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\sum_{j=1}^m\sum_{d|j}μ(d)
\]
使用结论2
\[\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\sum_{j=1}^m\sum_{d|j}μ(d)\\ =\sum_{d=1}^n\lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor\sum_{d=1}^m\lfloor{\frac{m}{d}}\rfloorμ(d)\\ =\sum_{d=1}^{min(n,m)}\lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor\lfloor{\frac{m}{d}}\rfloorμ(d)
\]
也就是
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d|gcd(i,j)}μ(d)\\ =\sum_{d=1}^{min(n,m)}\lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor\lfloor{\frac{m}{d}}\rfloorμ(d)
\]
这个作为结论3
有了这三个结论
现在我们来做一道板子题
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)\\ =\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)=d]\\ =\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}[gcd(i,j)=1]
\]
使用结论3 也就是
\[\sum_{d=1}^nd\sum_{t=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}μ(t){\lfloor\frac{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}{t}\rfloor}^2
\]
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